剰余類(nを法とした整数)
定義
任意の自然数 $n$ に対して、集合 $\mathbb{Z}_{n}$ と 二項演算 $+$ が次のように定められているとする。
$$ \mathbb{Z}_{n} = \{ 0, 1, 2, \cdots, n-1 \} \\ a + b = (a + b) \mod n $$
このとき $\operatorname{mod}$ は モジュロ演算 である。二項演算構造 $(\mathbb{Z}_{n}, +)$ を 整数モジュロ（加法）群(additive) group of integer modulo $n$ と呼ぶ。簡単に $\mathbb{Z}_{n}$ と表記する。
説明
二項演算構造 $(\mathbb{Z}_{n}, +)$ は 群 の定義を満たす。
単位元
単位元は整数 $0$ である。 $a \in \mathbb{Z}_{n}$ に対して、 $$ a + 0 = 0 + a = a $$逆元
$a \in \mathbb{Z}_{n}$ に対する逆元は $n - a$ である。 $$ a + (n - a) = n \mod n = 0 $$結合法則
モジュロ演算について $(a \mod n) + (b \mod n) = (a + b) \mod n$ が成り立つため結合法則が成り立つ。 $$ (a + b) + c = (a + b) + c $$
例
$n$ が小さいときの具体例は以下の通りである。
$\mathbb{Z}_{2}$
$$ \begin{array}{c|cc} \mathbb{Z}_{2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} $$
$\mathbb{Z}_{3}$
$$ \begin{array}{c|ccc} \mathbb{Z}_{3} & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} $$
$\mathbb{Z}_{4}$
$$ \begin{array}{c|cccc} \mathbb{Z}_{4} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} $$