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ヘルダー連続関数空間 📂ヒルベルト空間

ヘルダー連続関数空間

定義1

連続関数空間

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開集合としよう。非負の整数mmに対し、αm|\alpha| \le mであるすべての多重指数 α\alphaについて DαϕD^{\alpha}\phiΩ\Omegaで連続であるϕ\phiたちの集合を連続関数空間という。

Cm(Ω):={ϕ:Dαϕ is continuous on Ω,α<m} C^{m}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi : D^{\alpha} \phi \text{ is continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\}

特にC0(Ω):=C(Ω)C^0(\Omega):=C(\Omega)C:=m=0Cm(Ω)C^{\infty}:=\cap_{m=0}^{\infty}C^m(\Omega)を定義する。また、ここでDαϕD^{\alpha} \phiϕ\phi弱導関数(超関数的導関数)を意味することもある。

有界連続関数空間

すべての0αm0 \le |\alpha| \le mに対し、DαϕD^\alpha \phiΩ\Omega上で有界なϕCm(Ω)\phi \in C^m(\Omega)たちの集合を有界連続関数空間と定義する。

CBm(Ω):={ϕCm(Ω):Dαϕ is bounded on Ω,α<m} C^{m}_{B}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\}

すると定義により自然にCBm(Ω)Cm(Ω)C^{m}_{B}\left( \Omega \right) \subset C^{m}\left( \Omega \right)が成り立つ。また、CBm(Ω)C^m_{B}(\Omega)は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。

ϕ ; CBm(Ω):=max0αmsupx ΩDαϕ(x) \left\| \phi\ ;\ C^m_{B}( \Omega )\right\| := \max \limits_{0 \le \left| \alpha \right| \le m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi (x) |

有界一様連続関数空間

すべての0αm0 \le |\alpha| \le mに対し、DαϕD^\alpha \phiΩ\Omega上で有界かつ一様連続であるϕCm(Ω)\phi \in C^{m}(\Omega)たちの集合を有界一様連続関数空間という。

Cm(Ω):={ϕCm(Ω):Dαϕ is bounded and uniformly continuous on Ω,α<m} C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded and uniformly continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\}

するとCm(Ω)C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)CBm(Ω)C^{m}_{B}\left( \Omega \right)の閉部分空間であり、以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。

ϕ ; Cm(Ω):=max0αmsupx ΩDαϕ(x) \left\| \phi\ ;\ C^m(\overline{\Omega} )\right\| := \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi (x) |

ヘルダー連続関数空間

ヘルダー条件

0λ10 \le \lambda \le 1としよう。すべてのαm\left| \alpha \right| \le mDαϕD^{\alpha} \phiに対して、以下の式を満たす定数KKが存在すれば、DαϕD^{\alpha} \phiΩ\Omegaヘルダー条件指数λ\lambdaのヘルダー条件を満たすという。

Dαϕ(x)Dαϕ(y)Kxyλ, x,yΩ \left| D^{\alpha} \phi (x) - D^{\alpha}\phi (y) \right| \le K |x-y|^\lambda,\quad \forall\ x,y \in \Omega


Cm(Ω)C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)の要素の中でヘルダー条件を満たすϕ\phiたちの集合をヘルダー連続関数空間という。

Cm,λ(Ω):={ϕCm(Ω):Dαϕ satisfies in Ω a Hoelder condition of exponent λ,αm} C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) : D^{\alpha}\phi \text{ satisfies in } \Omega \text{ a Hoelder condition of exponent } \lambda, \forall \left| \alpha \right| \le m \right\}

するとCm,λ(Ω)C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right)は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間になる。

ϕ ; Cm,λ(Ω):=ϕ ; Cm(Ω)+max0αmsupx,y ΩxyDαϕ(x)Dαϕ(y)xyλ \left\| \phi\ ;\ C^{m,\lambda} (\overline{\Omega} )\right\| := \left\| \phi\ ;\ C^{m} (\overline{\Omega} )\right\| + \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{\substack{x,y\ \in \Omega \\ x\ne y} } \dfrac{ | D^{\alpha}\phi (x) - D^{\alpha}\phi (y) |}{ |x-y| ^{\lambda}}

0<ν<λ10 \lt \nu \lt \lambda \le 1に対して、以下の関係が成り立つ。

Cm,λ(Ω)Cm,ν(Ω)Cm(Ω) C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m,\nu}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)

説明

リプシッツ条件λ=1\lambda = 1のときのヘルダー条件と見なすことができる。


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p10-11 ↩︎