ヘルダー連続関数空間
📂ヒルベルト空間ヘルダー連続関数空間
定義
連続関数空間
Ω⊂Rnを開集合としよう。非負の整数mに対し、∣α∣≤mであるすべての多重指数 αについて DαϕがΩで連続であるϕたちの集合を連続関数空間という。
Cm(Ω):={ϕ:Dαϕ is continuous on Ω,∀∣α∣<m}
特にC0(Ω):=C(Ω)、C∞:=∩m=0∞Cm(Ω)を定義する。また、ここでDαϕはϕの弱導関数(超関数的導関数)を意味することもある。
有界連続関数空間
すべての0≤∣α∣≤mに対し、DαϕがΩ上で有界なϕ∈Cm(Ω)たちの集合を有界連続関数空間と定義する。
CBm(Ω):={ϕ∈Cm(Ω):Dαϕ is bounded on Ω,∀∣α∣<m}
すると定義により自然にCBm(Ω)⊂Cm(Ω)が成り立つ。また、CBm(Ω)は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。
∥ϕ ; CBm(Ω)∥:=0≤∣α∣≤mmaxx ∈Ωsup∣Dαϕ(x)∣
有界一様連続関数空間
すべての0≤∣α∣≤mに対し、DαϕがΩ上で有界かつ一様連続であるϕ∈Cm(Ω)たちの集合を有界一様連続関数空間という。
Cm(Ω):={ϕ∈Cm(Ω):Dαϕ is bounded and uniformly continuous on Ω,∀∣α∣<m}
するとCm(Ω)はCBm(Ω)の閉部分空間であり、以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。
ϕ ; Cm(Ω):=0≤∣α∣mmaxx ∈Ωsup∣Dαϕ(x)∣
ヘルダー連続関数空間
ヘルダー条件
0≤λ≤1としよう。すべての∣α∣≤m、Dαϕに対して、以下の式を満たす定数Kが存在すれば、DαϕはΩでヘルダー条件指数λのヘルダー条件を満たすという。
∣Dαϕ(x)−Dαϕ(y)∣≤K∣x−y∣λ,∀ x,y∈Ω
Cm(Ω)の要素の中でヘルダー条件を満たすϕたちの集合をヘルダー連続関数空間という。
Cm,λ(Ω):={ϕ∈Cm(Ω):Dαϕ satisfies in Ω a Hoelder condition of exponent λ,∀∣α∣≤m}
するとCm,λ(Ω)は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間になる。
ϕ ; Cm,λ(Ω):=ϕ ; Cm(Ω)+0≤∣α∣mmaxx,y ∈Ωx=ysup∣x−y∣λ∣Dαϕ(x)−Dαϕ(y)∣
0<ν<λ≤1に対して、以下の関係が成り立つ。
Cm,λ(Ω)⊊Cm,ν(Ω)⊊Cm(Ω)
説明
リプシッツ条件はλ=1のときのヘルダー条件と見なすことができる。