📂ヒルベルト空間

ヘルダー連続関数空間

定義¹

連続関数空間

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合としよう。非負の整数$m$に対し、$|\alpha| \le m$であるすべての多重指数 $\alpha$について $D^{\alpha}\phi$が$\Omega$で連続である$\phi$たちの集合を連続関数空間という。

$$ C^{m}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi : D^{\alpha} \phi \text{ is continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

特に$C^0(\Omega):=C(\Omega)$、$C^{\infty}:=\cap_{m=0}^{\infty}C^m(\Omega)$を定義する。また、ここで$D^{\alpha} \phi$は$\phi$の弱導関数（超関数的導関数）を意味することもある。

有界連続関数空間

すべての$0 \le |\alpha| \le m$に対し、$D^\alpha \phi$が$\Omega$上で有界な$\phi \in C^m(\Omega)$たちの集合を有界連続関数空間と定義する。

$$ C^{m}_{B}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

すると定義により自然に$C^{m}_{B}\left( \Omega \right) \subset C^{m}\left( \Omega \right)$が成り立つ。また、$C^m_{B}(\Omega)$は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。

$$ \left\| \phi\ ;\ C^m_{B}( \Omega )\right\| := \max \limits_{0 \le \left| \alpha \right| \le m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi (x) | $$

有界一様連続関数空間

すべての$0 \le |\alpha| \le m$に対し、$D^\alpha \phi$が$\Omega$上で有界かつ一様連続である$\phi \in C^{m}(\Omega)$たちの集合を有界一様連続関数空間という。

$$ C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded and uniformly continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

すると$C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)$は$C^{m}_{B}\left( \Omega \right)$の閉部分空間であり、以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間である。

$$ \left\| \phi\ ;\ C^m(\overline{\Omega} )\right\| := \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi (x) | $$

ヘルダー連続関数空間

ヘルダー条件

$0 \le \lambda \le 1$としよう。すべての$\left| \alpha \right| \le m$、$D^{\alpha} \phi$に対して、以下の式を満たす定数$K$が存在すれば、$D^{\alpha} \phi$は$\Omega$でヘルダー条件^{指数$\lambda$のヘルダー条件}を満たすという。

$$ \left| D^{\alpha} \phi (x) - D^{\alpha}\phi (y) \right| \le K |x-y|^\lambda,\quad \forall\ x,y \in \Omega $$

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$C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)$の要素の中でヘルダー条件を満たす$\phi$たちの集合をヘルダー連続関数空間という。

$$ C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) : D^{\alpha}\phi \text{ satisfies in } \Omega \text{ a Hoelder condition of exponent } \lambda, \forall \left| \alpha \right| \le m \right\} $$

すると$C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right)$は以下のようなノルムが与えられたバナッハ空間になる。

$$ \left\| \phi\ ;\ C^{m,\lambda} (\overline{\Omega} )\right\| := \left\| \phi\ ;\ C^{m} (\overline{\Omega} )\right\| + \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{\substack{x,y\ \in \Omega \\ x\ne y} } \dfrac{ | D^{\alpha}\phi (x) - D^{\alpha}\phi (y) |}{ |x-y| ^{\lambda}} $$

$0 \lt \nu \lt \lambda \le 1$に対して、以下の関係が成り立つ。

$$ C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m,\nu}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) $$

説明

リプシッツ条件は$\lambda = 1$のときのヘルダー条件と見なすことができる。