📂シュワルツ超函数

超関数の微分

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配布物超関数は、その定義域が関数空間であるため、実数空間で定義された関数のように微分することはできません。しかし、正則超関数の場合には、対応する局所的に積分可能な関数$u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$が存在し、以下のように表されます。

$$T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

したがって、$u$に対するある作用$S$によって$Su=u^{\prime}$を得ることができるだろうが、$u^{\prime}$が依然として局所的に積分可能な関数であるならば、それに対応する超関数$T_{u^{\prime}}$が存在します。したがって、$u$に対する作用$S$を、$T_{u}$に対する作用であるかのように考えるわけです。このようなアイデアを超関数全体に拡張して、超関数の微分を定義しようとしています。

以下では、$u\in C^{\infty}$と仮定していますが、必ずしもそうする必要はありません。$u \in C^{n}$とし、$n$階の導関数まで話してもかまいません。

あるスムーズ関数$u\in C^{\infty}$が与えられたとしましょう。テスト関数$\phi$はコンパクトサポートを持つので、テスト関数のサポートを含むあるコンパクトな集合$K$上で$u$が定義されていると考えても問題ありません。コンパクトな集合上でのスムーズな関数は局所的に積分可能なので、$u$に対応する正規超関数$T_{u}$を考えることができます。

一方、$u$はスムーズな関数なので微分可能であり、$u^{\prime}$も局所的に積分可能なので、対応する正則超関数$T_{u^{\prime}}$が存在します。すると、テスト関数$\phi \in \mathcal{D}$に対して部分積分法を使って以下のように表現できます。

$$\begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi) &= \int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \left[ u(x) \phi (x) \right]_{-\infty}^{\infty} -\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx \end{align*}$$

ここで、$\phi$はコンパクトサポートを持っているので、第一項は$0$です。したがって、次のことを得ます。

$$T_{u^{\prime}}(\phi)=-\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx=-T_{u}(\phi^{\prime})$$

定義¹

超関数$T$の導関数を、以下のように定義します。

$$(DT)(\phi):= -T(D\phi)$$

ここで、$D$は微分演算子です。マルチインデックス$\alpha$については、次のようになります。

$$(D^{\alpha}T)(\phi):= \left| -1 \right|^{\left| \alpha \right| } T(D^{\alpha}\phi)$$

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テスト関数の導関数もテスト関数であることから、定義域に問題はなく、その点を除けば、単に定数項$\left| -1 \right|^{\left| \alpha \right|}$が乗じられたことに過ぎず、したがって$D^{\alpha}T$もまた超関数になることを知ることができます。もちろん、超関数の定義を利用して証明することができますが、必ずしもそうする必要はありません。