L2空間におけるベッセルの不等式
定理
$\left\{ \phi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$が$L^{2}(a,b)$における正規直交集合であるとしよう。そして$f\in L^{2}(a,b)$とする。すると以下の不等式が成り立つ。
$$ \sum \limits_{n=1}^\infty \left| \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \right|^{2} \le \| f \|^{2} $$
説明
これをベッセルの不等式Bessel’s inequalityという。
以下の式を満たす関数を二乗可積分square-integrable$であるという。
$$ \int_{a}^b |f(x)|^2 dx < \infty $$
区間$[a,b]$で二乗可積分な関数の集合を$L^2(a,b)$という。
$$ L^2(a,b) := \left\{ f\ \Bigg|\ \int_{a}^b |f(x)|^2 dx < \infty \right\} $$
有限次元のベクトル空間$\mathbb{R}^n$を考えてみよう。$\left\{\mathbf{e}_{1},\ \cdots,\ \mathbf{e}_{n} \right\}$を基底とすれば、任意の$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$に対して以下の式は自明に成り立つ。
$$ \sum_{1}^n | \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{i} \right\rangle |^2=|a_{1}|^2+\cdots+|a_{n}|^2=| \mathbf{a} |^2 $$
無限次元の空間に対しても上と似た話ができるということが、ベッセルの不等式のもつ意味である。実際に**等式まで成り立つ**。さらに$\left\{ \phi_{n} \right\}_{1}^\infty$に有限次元で定義した基底と似た役割を与えようとする。すなわち、以下のような表現が使えるか、可能ならばどのような条件で可能かを知りたい。
$$ f=\sum \limits_{1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n} $$
一方、ベッセルの不等式はヒルベルト空間への一般化が可能である。
証明
$\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle$はスカラーであることに注意せよ。内積の性質により$\left\langle f,ag \right\rangle = \overline{a}\left\langle f,g\right\rangle$であるので
$$ \left\langle f, \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\rangle=\overline {\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle = \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$
またピタゴラスの定理により以下の式が成り立つ。
$$ \left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2=\sum \limits_{1}^{N} \left\| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 = \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 $$
補助定理
$\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in \mathbb{C}^n$とする。すると
$$ \left\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \right\|^{2} = \left\| \mathbf{a} \right\|^{2} + 2\text{Re}\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle + \left\| \mathbf{b} \right\|^{2} $$
したがって
$$ \begin{align*} 0 \le& \left\| f- \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} - 2\text{Re} \left\langle f,\ \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\rangle + \left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -2\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle \right|^2 + \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \end{align*} $$
二番目の等式で補助定理を、三番目の等式で先に導いた二つの式を用いた。したがって
$$ \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \le \left\| f \right\|^{2} $$
両辺に$N \rightarrow \infty$の極限をとると
$$ \sum \limits_{1}^\infty | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle|^2 \le \left\| f \right\|^{2} $$
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