📂解析学

関数列のノルム収束

定義

関数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が与えられたとする。$\| f_{n} - f \|$ が $0$ に収束する場合、$f_{n}$ は ノルム収束する^{converge in norm} と言い、以下のように表記される。

$$f_{n} \to f \text{ in norm }$$ または $$\| f_{n} - f\| \to 0$$ または $$\lim \limits_{n \to 0} \| f_{n}-f\|=0$$

説明

数列の極限 を定義するためには、距離の概念が必要 である。関数空間での距離 は ノルムで定義される ため、関数列の収束を上記のように定義する。

関数の ノルム は 積分で定義される ため、$f_{n}$ が $f$ にノルム収束するとは、与えられた区間で $f_{n}$ と $f$ の差の 平均 が $0$ に収束することを意味する。

$$f_{n}\rightarrow f\ \ \mathrm{in\ norm}\quad \iff \quad \int_{a}^b\left| f_{n}(x)-f(x) \right|^2 dx \rightarrow 0$$

注意すべき点は、ノルム収束と 点収束 が互いを保証しないこと である。一方で、一様収束 はノルム収束を保証する。

例

ノルム収束が点収束を意味するわけではない

区間 $[0,1]$ で $f_{n}$ が以下のようであるとする。

$$f_{n}(x) =\begin{cases} 1 & 0\le x \le \dfrac{1}{n} \\ 0 &\dfrac{1}{n}<x\le 1\end{cases}$$

すると $\lim \limits_{n \to \infty} \| f_{n} \| = 0$ が以下のように簡単に示せる。

$$\lim \limits_{n \to \infty} \|f_{n}-0 \|^2 = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^1 |f(x)-0|^2 dx = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}}dx = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$$

しかし明らかに、すべての $n$ に対して $f_{n}(0)=1$ であるため、$f_{n}(x)$ は $x=0$ で $0$ に収束しない。

点収束がノルム収束を意味するわけではない

区間 $[0,1]$ で $g_{n}$ が以下のようであるとする。

$$g_{n}(x) = \begin{cases} n & 0<x<\dfrac{1}{n} \\ 0 & \mathrm{elsewhere} \end{cases}$$

すると、すべての $n$ に対して $g_{n}(0)=0$ であるため、$\lim \limits_{n \to \infty} g_{n}(x) = 0$ が成立する。しかし、$\lim \limits_{n \to \infty} \| g_{n} \| =0$ は成立しない。

$$\lim \limits_{n \to \infty} \| g_{n}-0 \|^2 = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^1 |g_{n}(x)-0|^2dx = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^{ \frac{1}{n} } n^2dx = \lim \limits_{n \to \infty} n = \infty \ne 0$$

定理

区間 $[a,b]$ で $f_{n}(x)$ が $f(x)$ に一様収束するとする。すると、$f_{n}$ は $f$ にノルム収束する。

証明

一様収束の条件 に従い、すべての $x \in [a,b]$ に対して $|f_{n}(x)-f(x)| \le M_{n}$ が存在し $\lim \limits_{n \to \infty} M_{n} = 0$ を満たす。したがって、以下が成立する。

$$\|f_{n}-f \|^2 = \int_{a}^b|f_{n}(x)-f(x)|^2dx \le \int_{a}^b {M_{n}}^2dx=(b-a){M_{n}}^2$$

したがって、$f_{n}$ は $f$ にノルム収束する。

$$\lim \limits_{n \to \infty} \|f_{n}-f \|^2 \le \lim \limits_{n \to \infty} (b-a){M_{n}}^2 = 0$$

■