📂偏微分方程式

特性方程式を利用した非線形1系偏微分方程式の解法。

説明¹

• $x$と$p$について、偏微分方程式の変数であることを強調する場合、通常のフォントで $x,p \in \mathbb{R}^{n}$ と表示し、$s$に関する関数であることを強調する場合、太字のフォントで $\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$ と表示します。

特性方程式

$$ \begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} $$

特性方程式を用いた非線形1階偏微分方程式の解法は、微分方程式がどのように与えられるかによって少しずつ異なります。これは与えられた微分方程式の線形性によって区別され、線形、準線形、完全非線形の場合に応じて解法が異なります。非線形性が高いほど難易度が高くなります。

解法

同次線形

与えられた偏微分方程式が完全に線形であれば、最も簡単に解くことができます。特性方程式の $\mathbf{p}(s)$ に関する条件は必要ないほど単純です。次の線形および同次の微分方程式を考えてみましょう。

$$ \begin{equation} F(Du, u, x) = \mathbf{b}(x)\cdot Du(x)+c(x)u(x)=0 \quad (x\in \Omega \subset \mathbb{R}^{n}) \label{eq1} \end{equation} $$

ここで、各変数 $p, z, x$ を $p, z, x$とします。

$$ \begin{equation} F(p,\ z,\ x)=\mathbf{b}(x)\cdot p +c(x)z=b_{1}p_{1}+\cdots +b_{n}p_{n}+cz = 0 \label{eq2} \end{equation} $$

$D_{p}F$ を計算すると、次のようになります。

$$ D_{p}F=(F_{p_{1}}, \dots, F_{p_{n}})=(b_{1}, \dots, b_{n})=\mathbf{b}(x) $$

したがって、特性方程式は次のようになります。

$$ \begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s) &= \mathbf{b}(x) \\ \dot{z}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s))\cdot \mathbf{p}(s) \end{align*} $$

このとき、$(2)$により、$\dot{z}(s)$ は次のようになります。

$$ \dot{z}(s) = -c(\mathbf{x}(s))z $$

したがって、同次線形1階偏微分方程式の特性方程式は次のようになります。

$$ \left\{ \begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s)&=\mathbf{b}(x) \\ \dot{z}(s) &= -c(\mathbf{x}(s))z \end{align*} \right. $$

このとき、$\mathbf{p}(s)$ に関する特性方程式は問題を解くのに必要ありませんことを例を通じて確認できます。

例

次のような微分方程式が与えられたとします。

$$ \left\{ \begin{align*} x_{1} u_{x_{2}} - x_{2} u_{x_{1}} &= u && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*} \right. $$

• $\Omega=\left\{ x_{1}>0, x_{2}>0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{ x_{1}>0, x_{2}=0 \right\}$

その場合、$(1)$ から $\mathbf{b}=(-x_{2}, x_{1}), c=-1$ です。したがって、特性方程式は次のようになります。

$$ \left\{ \begin{align*} \dot{x}^{1} &= -x^{2} \\ \dot{x}^{2} &=x^{1} \\ \dot{z}&=z \end{align*} \right. $$

これは簡単な常微分方程式なので、次のように簡単に解けます。

$$ \left\{ \begin{align*} x^{1}(s) &=x^{0}\cos s \\ x^{2}(s)&=x^{0} \sin s \\ z(s)&=z^{0}e^s=g(x^{0})e^s \end{align*} \right. $$

ここで、 $x^{0}$ は $s=0$ のときに $x_{1}-$軸($\Gamma$) を通過するように選ばれた定数です。その後、点 $(x_{1}, x_{2}) \in \Omega$ を固定しましょう。

$$ (x_{1},\ x_{2})=(x^{1}(s),\ x^{2}(s)) = (x^{0} \cos (s),\ x^{0} \sin (s)) $$

すると、 $s>0, x^{0}>0$ の場合、次の結果が得られます。

$$ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x^{0})^{2}\cos^{2}(s) + (x^{0})^{2}\sin^{2}(s) = (x^{0})^{2} \implies x^{0}=({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})^{1/2} \\ \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{x^{0}\sin (s)}{x^{0} \cos (s)} = \tan (s) \implies s=\arctan \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right) $$

したがって、方程式の解は次のようになります。

$$ \begin{align*} u(x)&=u(x^{1}(s),\ x^{2}(s)) \\ &= z(s) \\ &=g(x^{0})e^s \\ &= g(({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})^{1/2})e^{\arctan \left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)} \end{align*} $$

■

準線形

次に、与えられた微分方程式が最高微分項に関して線形である場合を考えます。今扱っているのは1階微分方程式なので、1階微分項に関して線形な場合です。

$$ F(Du,\ u,\ x)=\mathbf{b}(x,\ u(x))\cdot Du(x)+c(x,\ u(x))=0 $$

ここで、各変数 $p, z, x$ を $p, z, x$ とします。

$$ \begin{equation} F(p, z, x)=\mathbf{b}(x, z)\cdot p + c(x, z)=b_{1}p_{1} + \cdots + b_{n} p_{n} +c=0 \label{eq3} \end{equation} $$

$D_{p}F$ を計算すると、次のようになります。

$$ D_{p}F=(F_{p_{1}},\ \cdots,\ F_{p_{n}})=(b_{1},\ \cdots,\ b_{n})=\mathbf{b}(x,\ z) $$

したがって、特性方程式は次のようになります。

$$ \begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s),\ z(s)) \\ \dot{z}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s),\ z(s))\mathbf{p}(s)=-c(\mathbf{x}(s),\ z(s)) \end{align*} $$

$\dot{z}$ の2つ目の等号は $(3)$ によって成立します。この場合も $\mathbf{p}(s)$ に関する条件は問題を解くのに必要ありません。

例

次のような微分方程式が与えられたとします。

$$ \left\{ \begin{align*} u_{x_{1}} + u_{x_{2}} &= u^{2} && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*} \right. $$

• $\Omega=\left\{ x_{2} \gt 0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{ x_{2} = 0 \right\}$

その場合、$(3)$ から $\mathbf{b}=(1, 1)$, $c=-z^{2}$ です。したがって、特性方程式は次のようになります。

$$ \left\{ \begin{align*} \dot{x}^{1} &=1, \dot{x}^{2}=1 \\ \dot{z} &= z^{2} \end{align*} \right. $$

これはそれぞれ単純な常微分方程式なので、次のように解けます。

$$ \left\{ \begin{align*} x^{1}(s) &= x^{0}+s, x^{2}(s)=s \\ z(s)&=\frac{z^{0}}{1-sz^{0}}=\frac{g(x^{0})}{1-sg(x^{0})} \end{align*} \right. $$

ここで、$x^{0}$ は $s=0$ のときに $x_{2}-$軸($\Gamma$) を通過するように選ばれた定数です。また、与えられた微分方程式は $u_{x_{1}}u_{x_{2}}=u$ ですから、$p_{1}^{0}p_{2}^{0}=z^{0}=(x^{0})^{2}$ となり、$p_{1}^{0}=\frac{x^{0}}{2}$ です。これらを全て $(4)$ に代入すると、次の結果が得られます。

$$ \left\{ \begin{align*} p^{1}(s) &= \frac{x^{0}}{2}e^s \\ p^{2}(s) &= 2x^{0}e^s \\ z(s) &= (x^{0})^{2}e^{2s} \\ x^{1}(s) &= 2x^{0}(e^s-1) \\ x^{2}(s) &= x^{0}+\frac{x^{0}}{2}(e^s-1) \end{align*} \right. $$

その後、点

$(x_{1}, x_{2}) \in \Omega$ を固定しましょう。

$$ (x_{1}, x_{2})=(x^{1}(s), x^{2}(s))=\left( 2x^{0}(e^s -1), \frac{x^{0}}{2}(e^s+1) \right) $$

すると、$s, x^{0}$ に関して次の結果が得られます。

$$ x^{0}=\frac{4x_{2}-x_{1}}{4},\ \ e^s=\frac{x_{1}+4x_{2}}{4x_{2}-x_{1}} $$

したがって、方程式の解は次のようになります。

$$ u(x)=u(x^{1}(s),\ x^{2}(s))=z(s)=(x^{0})^{2}e^{2s}=\dfrac{(x_{1}+4x_{2})^{2}}{16} $$

■

完全非線形

最後に、次のような微分方程式が与えられたとします。

$$ \begin{align*} u_{x_{1}}u_{x_{2}} &= u && \text{in } \Omega \\ u &= x_{2}^{2} && \text{on } \Gamma \end{align*} $$

• $\Omega=\left\{ x_{1}>0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{ x_{1}=0 \right\}$

$F$ の変数を $P, z, x$ とすると、次のようになります。

$$ F(p, z, x)=p_{1}p_{2}-z $$

したがって、特性方程式は次のようになります。

$$ \begin{align*} \dot{p}^{1} &= p^{1},\quad \dot{p}^{2}=p^{2} \\ \dot{z} &= 2p^{1}p^{2} \\ \dot{x}^{1} &= p^{2},\quad \dot{x}^{2}=p^{1} \end{align*} $$

まず、 $p$ に関する微分方程式を解くと、次のようになります。

$$ p^{1}(s)=p_{1}^{0}e^s,\ \ p^{2}(s)=p_{2}^{0}e^s $$

このとき、 $p_{1}^{0}=p(0)$ および $p_{2}^{0}=p(0)$ です。したがって、$\dot{z}(s)=2p_{1}^{0}p_{2}^{0}e^{2s}$ であるため、$z$ は次のようになります。

$$ z(s)=p_{1}^{0}p_{2}^{0}e^{2s}+C $$

$z(0)=z^{0}=p_{1}^{0}p_{2}^{0}+C$ なので、$C=z^{0}-p_{1}^{0}p_{2}^{0}$ です。したがって、次のようになります。

$$ z(s)=z^{0}+p_{1}^{0}p_{2}^{0}(e^{2s}-1) $$

同様の方法で $x^{1}$ および $x^{2}$ も計算すると、次のようになります。

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} p^{1}(s) &= p_{1}^{0}e^s \\ p^{2}(s) &= p_{2}^{0}e^s \\ z(s) &= z^{0}+p_{1}^{0}p_{2}^{0}(e^{2s}-1) \\ x^{1}(s) &= p_{2}^{0}(e^s-1) \\ x^{2}(s) &= x^{0}+p_{1}^{0}(e^s-1) \end{aligned} \right. \label{eq4} \end{equation} $$

このとき、 $x^{0}$ は $s=0$ のときに $x_{1}-$軸($\Gamma$) を通過するように選ばれた定数です。$u_{x_{2}}=p^{2}$ および境界条件により、$x_{2}^{0}=u(0, x^{0})=2x^{0}$ です。また、与えられた微分方程式は $u_{x_{1}}u_{x_{2}}=u$ であるため、$p_{1}^{0}p_{2}^{0}=z^{0}=(x^{0})^{2}$ であり、$p_{1}^{0}=\frac{x^{0}}{2}$ です。これらを全て $(4)$ に代入すると、次の結果が得られます。

$$ \left\{ \begin{align*} p^{1}(s) &= \frac{x^{0}}{2}e^s \\ p^{2}(s) &= 2x^{0}e^s \\ z(s) &= (x^{0})^{2}e^{2s} \\ x^{1}(s) &= 2x^{0}(e^s-1) \\ x^{2}(s) &= x^{0}+\frac{x^{0}}{2}(e^s-1) \end{align*} \right. $$

その後、点 $(x_{1}, x_{2})\in \Omega$ を固定しましょう。

$$ (x_{1}, x_{2})=(x^{1}(s), x^{2}(s))=\left( 2x^{0}(e^s -1), \frac{x^{0}}{2}(e^s+1) \right) $$

すると、 $s, x^{0}$ に関して次の結果が得られます。

$$ x^{0}=\frac{4x_{2}-x_{1}}{4},\ \ e^s=\frac{x_{1}+4x_{2}}{4x_{2}-x_{1}} $$

したがって、方程式の解は次のようになります。

$$ u(x)=u(x^{1}(s),\ x^{2}(s))=z(s)=(x^{0})^{2}e^{2s}=\dfrac{(x_{1}+4x_{2})^{2}}{16} $$

■