📂ヒルベルト空間

ユニタリー作用素

定義

ヒルベルト空間 $H$と有界線型作用素 $T : H \to H$が全単射であり次を満たすとき、ユニタリ作用素^{unitarty operator}と呼ぶ。

$$ T^{\ast} = T^{-1} $$

$T^{\ast}$は $T$ の随伴作用素(アジョイント)、$T^{-1}$は $T$ の逆作用素である。

説明

定義の条件を別の表現にすると次のようになる。

$$ TT^{\ast} = I = T^{\ast}T $$

$I$は恒等作用素である。随伴作用素の定義は次の通りである。

$$ \braket{T\mathbf{v}, \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w}} $$

随伴作用素の随伴は元に戻るので、ユニタリ作用素の逆作用素もユニタリである。

$$ (T^{-1})^{\ast} = (T^{\ast})^{\ast} = T \implies T^{-1}(T^{-1})^{\ast} = I $$

有限次元、すなわち行列で見れば $T^{\ast}$は $T$ の共役転置行列であり、 $T^{\ast}T$ は単位行列である。つまりユニタリ作用素はユニタリ行列の一般化である。

性質¹

$H$をヒルベルト空間、$U : H \to H$と$V : H \to H$をユニタリ作用素とする。すると次が成り立つ。

(a) $U$がユニタリであることと次が成り立つことは同値である。 $$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}}, \quad \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in H $$ (a-1) ユニタリ作用素は等長写像^isometricである。 $$ \| U \mathbf{v} \| = \| \mathbf{v} \|, \quad \forall \mathbf{v} \in H $$

(a-2) $H \ne \{0\}$ならば $U$ の作用素ノルムは次の通りである。 $$ \| U \| = 1 $$

(b) $U^{-1}$もユニタリである。

(c) $UV = U \circ V$もユニタリである。

(d) $U$は正規作用素である。

証明

(a)

$(\implies)$$U$がユニタリであるとする。すると随伴作用素の定義により次が成り立つ。

$$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} = \braket{\mathbf{v}, I\mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} $$

■

$(\impliedby)$逆に、$\braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}}$が成り立つとする。また随伴作用素の定義により次が成り立つ。

$$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} $$

すると次を得る。

$$ \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} \implies \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} - \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} = 0 $$

$$ \implies \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w} - U^{\ast}(U \mathbf{w})} = 0, \quad \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in H $$

零ベクトルの性質

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

内積空間における零ベクトルの性質により次が成り立つ。

$$ \mathbf{w} - U^{\ast}U \mathbf{w} = \mathbf{0} $$

したがって次が成り立つ。

$$ U^{\ast}U \mathbf{w} = \mathbf{w} \implies U^{\ast}U = I $$

■

(b)

$(U^{-1})^{\ast} = (U^{-1})^{-1}$であることを示せばよい。$U$がユニタリであるという仮定と随伴作用素の性質により次が成り立つ。

$$ (U^{-1})^{\ast} = (U^{\ast})^{\ast} = U = (U^{-1})^{-1} $$

■

(c)

証明1

$U$がユニタリなので、(a) により次が成り立つ。

$$ \braket{U(V\mathbf{x}), U(V\mathbf{y})} = \braket{(V\mathbf{x}), (V\mathbf{y})}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

$V$がユニタリなので次が成り立つ。

$$ \braket{V\mathbf{x}, V\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

したがって次が成り立ち、(a) により $UV$ はユニタリである。

$$ \braket{UV\mathbf{x}, UV\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

■

証明2

随伴作用素の性質

$$ (UV)^{\ast} = V^{\ast}U^{\ast} $$

逆作用素の性質

$$ (UV)^{-1} = V^{-1}U^{-1} $$

随伴作用素の性質と逆作用素の性質により、

$$ (UV)^{\ast} = V^{\ast}U^{\ast} = V^{-1}U^{-1} = (UV)^{-1} $$

■