📂偏微分方程式

モリフィケーション

定義 ¹

$f \in {L^1_{\mathrm{Loc}}( \Omega)}$と$\epsilon>0$についての$f$の**$\epsilon$-モリフィケーション**^{$\epsilon$ -mollification}は以下のように定義される。

$$ f^{\epsilon}(x) := \eta_{\epsilon} * f (x) =\int_{\mathbb{R}^{n}} \eta_{\epsilon}(x-y)f(y)dy, \quad x\in \Omega_{>\epsilon} $$

• ここで$f$は、$\Omega$の外では$0$と定義された関数である。
• $\eta_\epsilon$はモリファイアである。
• $\ast$は畳み込みである。
• $\Omega_{>\epsilon} := \left\{ x \in \Omega : \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) > \epsilon \right\}$

性質

• (i) $f^{\epsilon} \in C^\infty( \Omega_{>\epsilon})$
• (ii) ほとんど至る所で、$f^{\epsilon} \to f \text{ as } \epsilon \to 0$

証明

固定された点$x \in \Omega_{>\epsilon}$が与えられたとする。そして$\Omega_{>\epsilon}$が開集合であるために、$x+he_{i} \in \Omega_{>\epsilon}$を満たす非常に小さな$h>0$が存在する。すると、ある開集合$V \Subset \Omega$について、以下が成立する。

$$ \begin{align*} \dfrac{ f^{\epsilon} (x+he_{i})- f^{\epsilon}(x) }{ h} &= \int_\Omega \dfrac{\eta_\epsilon (x+he_{i}-y) - \eta_\epsilon (x-y) }{h} f(y) dy \\ &= \int_\Omega \dfrac{1}{\epsilon^n}\dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{V} \dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \end{align*} $$

そして$y \in V$に対して、以下が成立する。

$$ \dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \dfrac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \dfrac{x-y}{h} \right) \right] \to \dfrac{1}{\epsilon}\eta _{x_{i}}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) \text{ uniformly as } h \to 0 $$

したがって、$f^{\epsilon}_{x_{i}}(x)$が存在し、その値は以下の通りである。

$$ \begin{align*} f^{\epsilon}_{x_{i}}(x) &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int _{V} \eta_{x_{i}}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) f(y)dy \\ &= \int_{\Omega} (\eta_\epsilon)_{x_{i}}(x-y)f(y) dy \end{align*} $$

同様に、各マルチインデックス $\alpha$に対して、$D^\alpha f^{\epsilon}(x)$が存在し、その値は以下の通りである。

$$ D^\alpha f^{\epsilon}(x) = \int_\Omega D^\alpha \eta_\epsilon (x-y)f(y)dy, \quad x \in \Omega_{>\epsilon} $$

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