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波の境界条件：反射と透過 📂物理学

波の境界条件：反射と透過

2本の異なる糸が結ばれているとしよう。波が糸1に沿って左から右に伝播する状況だと考える。波の伝播速度は質量に関連しているため、糸が結ばれている箇所を通過する際に、波の速度が変わる。便宜上、結び目の位置をx=0x=0とし、波が左から入るとしよう。すると、入射波incident waveは複素波動関数で以下のように表せる。

f~I(x,t)=A~Iei(k1x−wt),x<0 \tilde {f} _{\text{I}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0

入射波は、糸1に沿って戻る反射波reflected waveと糸2に沿って進む透過波transmitted waveを生じる。

f~R(x,t)=A~Rei(−k1x−wt),x<0 \tilde {f} _{\text{R}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0

f~T(x,t)=A~Tei(k2x−wt),x>0 \tilde {f} _{\text{T}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)},\quad x\gt 0

ここで注意すべき点は、糸の質量によって波の速度は変わるが、振動数ω\omegaは変わらないことだ。波源が同じであるため、糸のすべての部分で振動数はω\omegaであり変わらない。しかし、二つの糸で波の速度が異なるため、波長と波数は変わる。

λ1λ2=2πk12πk2=k2k1=v1v2 \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{\frac{2\pi}{k_{1}}}{\frac{2\pi}{k_{2}}}=\dfrac{k_{2}}{k_{1}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}

x<0x\lt 0の領域では、入射波と反射波の両方が存在するため、糸の実質的な変位を次のように表す。

f~(x,t)={A~Iei(k1x−wt)+A~Rei(−k1x−wt)x<0A~Tei(k2x−wt)x>0 \tilde{f}(x,t) = \begin{cases} \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)} + \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)} & x\lt 0 \\ \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)} & x\gt 0 \end{cases}

当然ながら、糸が結び目(x=0)(x=0)で切れていなければ、以下の式が成立しなければならない。ffはx=0x=0で連続でなければならない。

lim⁡x→0−f(x,t)=lim⁡x→0+f(x,t) \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x,t)

結び目の質量を無視できる場合、ffの導関数もx=0x=0で連続でなければならない。

∂f∂x∣0−=∂f∂x∣0+ \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^+}

そうでなければ、以下の図のように、張力が打ち消されず、結び目が実質的な力を受けて加速度が続けて大きくなる。上記の境界条件は実波動関数f(x,t)f(x,t)に適用されるが、複素波動関数f~\tilde{f}にもそのまま適用される。f~\tilde{f}の虚部は、実部のコサインがサインに変わっただけの違いだ。

lim⁡x→0−f~(x,t)=lim⁡x→0+f~(x,t) \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \tilde{f}(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \tilde{f}(x,t) \\

∂f~∂x∣0−=∂f~∂x∣0+ \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^+}

上記の条件を(2)(2)に適用すると、以下の2つの式が得られる。

A~I+A~R=A~Tk1(A~I−A~R)=k2A~T \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T}

これらの方程式を連立して、反射波と透過波を入射波の形で表せば A~R=k1−k2k1+k2A~I,A~T=2k1k1+k2A~I \tilde{A}_{R}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} 文章が長くなったため計算プロセスは省略したが、気になる場合は記事の最下部を参照してほしい∗^{\ast}。さらに、波数と速度の関係(1)(1)を上記の方程式に適用すると A~R=v2−v1v2+v1A~I,A~T=2v2v2+v1A~I \tilde{A}_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I} 同様に、計算プロセスが気になる場合は、記事の最下部を参照してほしい∗∗^{**}。したがって、実振幅と位相の関係は次の通り。 AReiδR=v2−v1v2+v1AIeiδI,ATeiδT=2v2v2+v1AIeiδI A_{R}e^{i\delta_{R}}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}}, \quad A_{T}e^{i\delta_{T}}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}} 糸2が糸1より軽ければ、μ2<μ1 →v1<v2(∵v=Tμ)\mu_{2} <\mu_{1} \ \rightarrow v_{1} < v_{2} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) であり、3つの波の位相角はすべて同じだ。δI=δR=δT\delta_{I}=\delta_{R}=\delta_{T} したがって、反射波と透過波の振幅は AR=v2−v1v2+v1AI,AT=2v2v2+v1AI A_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} 糸2が糸1より重ければ、μ1<μ2 →v2<v1(∵v=Tμ)\mu_{1} <\mu_{2} \ \rightarrow v_{2} < v_{1} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) であり、反射波の位相はπ\piだけずれる。δR+π=δI=δT\delta_{R}+\pi=\delta_{I}=\delta_{T}。そしてcos⁡(−k1x−ωt+δI−π)=−cos⁡(−k1x−ωt+δI)\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I} - \pi) =-\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I})であるため、反射波と透過波の振幅は AR=v1−v2v2+v1AI,AT=2v2v2+v1AI A_{R}=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} 特に、糸2が糸1に比べて非常に重い場合（または1の端が固定されている場合）は、v2«v1v_{2} « v_{1}であるため、反射波と透過波の振幅は AR=AI,AT=0 A_{R}=A_{I}, \quad A_{T}=0 つまり、透過波はなく、すべて反射される。

* A~I+A~R=A~Tk1(A~I−A~R)=k2A~T \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} 上記の式をこの式に代入すると k2(A~I+A~R)=k1(A~I−A~R)  ⟹  (k1−k2)A~I=(k1+k2)A~R  ⟹  A~R=k1−k2k1+k2A~I \begin{array}{rc} & k_{2}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{R}) = k_{1}(\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R}) \\ \implies & (k_{1}-k_{2})\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{R} \\ \implies &\tilde{A}_{R} = \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} この式を下記の式に代入すると k1(A~I+A~I−A~T)=k2A~T  ⟹  2k1A~I=(k1+k2)A~T  ⟹  A~T=2k1k1+k2A~I \begin{array}{rc} & k_{1}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{T}) = k_{2}\tilde{A}_{T} \\ \implies & 2k_{1}\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{T} \\ \implies &\tilde{A}_{T} = \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} ** k1−k2k1+k2=k1k2−1k1k2+1=v2v1−1v2v1+1=v2−v1v2+v1 \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}-1}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}-1}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}

2k1k1+k2=2k1k2k1k2+1=2v2v1v2v1+1=2v2v2+v1 \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{2\dfrac{k_{1}}{k_{2}}}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{2\dfrac{v_{2}}{v_{1}}}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}