波の境界条件：反射と透過
2本の異なる糸が結ばれているとしよう。波が糸1に沿って左から右に伝播する状況だと考える。波の伝播速度は質量に関連しているため、糸が結ばれている箇所を通過する際に、波の速度が変わる。便宜上、結び目の位置を$x=0$とし、波が左から入るとしよう。すると、入射波incident waveは複素波動関数で以下のように表せる。
$$ \tilde {f} _{\text{I}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0 $$
入射波は、糸1に沿って戻る反射波reflected waveと糸2に沿って進む透過波transmitted waveを生じる。
$$ \tilde {f} _{\text{R}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0 $$
$$ \tilde {f} _{\text{T}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)},\quad x\gt 0 $$
ここで注意すべき点は、糸の質量によって波の速度は変わるが、振動数$\omega$は変わらないことだ。波源が同じであるため、糸のすべての部分で振動数は$\omega$であり変わらない。しかし、二つの糸で波の速度が異なるため、波長と波数は変わる。
$$ \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{\frac{2\pi}{k_{1}}}{\frac{2\pi}{k_{2}}}=\dfrac{k_{2}}{k_{1}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}} $$
$x\lt 0$の領域では、入射波と反射波の両方が存在するため、糸の実質的な変位を次のように表す。
$$ \tilde{f}(x,t) = \begin{cases} \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)} + \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)} & x\lt 0 \\ \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)} & x\gt 0 \end{cases} $$
当然ながら、糸が結び目$(x=0)$で切れていなければ、以下の式が成立しなければならない。$f$は$x=0$で連続でなければならない。
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x,t) $$
結び目の質量を無視できる場合、$f$の導関数も$x=0$で連続でなければならない。
$$ \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$
そうでなければ、以下の図のように、張力が打ち消されず、結び目が実質的な力を受けて加速度が続けて大きくなる。上記の境界条件は実波動関数$f(x,t)$に適用されるが、複素波動関数$\tilde{f}$にもそのまま適用される。$\tilde{f}$の虚部は、実部のコサインがサインに変わっただけの違いだ。
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \tilde{f}(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \tilde{f}(x,t) \\ $$
$$ \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$
上記の条件を$(2)$に適用すると、以下の2つの式が得られる。
$$ \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} $$
これらの方程式を連立して、反射波と透過波を入射波の形で表せば $$ \tilde{A}_{R}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} $$ 文章が長くなったため計算プロセスは省略したが、気になる場合は記事の最下部を参照してほしい$^{\ast}$。さらに、波数と速度の関係$(1)$を上記の方程式に適用すると $$ \tilde{A}_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I} $$ 同様に、計算プロセスが気になる場合は、記事の最下部を参照してほしい$^{**}$。したがって、実振幅と位相の関係は次の通り。 $$ A_{R}e^{i\delta_{R}}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}}, \quad A_{T}e^{i\delta_{T}}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}} $$ 糸2が糸1より軽ければ、$\mu_{2} <\mu_{1} \ \rightarrow v_{1} < v_{2} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $であり、3つの波の位相角はすべて同じだ。$\delta_{I}=\delta_{R}=\delta_{T}$ したがって、反射波と透過波の振幅は $$ A_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} $$ 糸2が糸1より重ければ、$\mu_{1} <\mu_{2} \ \rightarrow v_{2} < v_{1} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $であり、反射波の位相は$\pi$だけずれる。$\delta_{R}+\pi=\delta_{I}=\delta_{T}$。そして$\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I} - \pi) =-\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I})$であるため、反射波と透過波の振幅は $$ A_{R}=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} $$ 特に、糸2が糸1に比べて非常に重い場合（または1の端が固定されている場合）は、$v_{2} « v_{1}$であるため、反射波と透過波の振幅は $$ A_{R}=A_{I}, \quad A_{T}=0 $$ つまり、透過波はなく、すべて反射される。
* $$ \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} $$ 上記の式をこの式に代入すると $$ \begin{array}{rc} & k_{2}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{R}) = k_{1}(\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R}) \\ \implies & (k_{1}-k_{2})\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{R} \\ \implies &\tilde{A}_{R} = \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} $$ この式を下記の式に代入すると $$ \begin{array}{rc} & k_{1}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{T}) = k_{2}\tilde{A}_{T} \\ \implies & 2k_{1}\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{T} \\ \implies &\tilde{A}_{T} = \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} $$ ** $$ \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}-1}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}-1}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}} $$
$$ \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{2\dfrac{k_{1}}{k_{2}}}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{2\dfrac{v_{2}}{v_{1}}}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}} $$