📂集合論

集合の分割

定義 ¹

集合 $X$ の全ての部分集合 $A,B,C$ について、次の条件を満たす $\mathscr{P} \subset 2^{X}$ を $X$ の分割と言う。

• (i): $$A,B \in \mathscr{P} \land A \ne B \implies A \cap B = \emptyset$$
• (ii): $$\bigcup_{C \in \mathscr{P} } C = X$$

説明

数式で表すと複雑に見えるが、簡単に言うと、単に全体集合を欠けることなくいくつかのピースに分けることに過ぎない。数式的な定義に囚われる余裕があるなら、むしろ$X$の分割$\mathscr{P}$が$X$の冪集合$2^{X} = \mathscr{P} (X)$の部分集合であるというようなディテールに気を使う方がいい。

簡単な例として、整数集合$\mathbb{Z}$を考えてみよう。偶数の集合$2 \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2 , 0 , 2 , \cdots \right\}$と奇数の集合$1 + 2 \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -3 , -1 , 1 , 3 , \cdots \right\}$を含む$\mathscr{P} = \left\{ 2 \mathbb{Z} , 1 + 2 \mathbb{Z} \right\}$は$\mathbb{Z}$の分割となる。ここで$\mathscr{P} \subset 2^{\mathbb{Z}}$は$\mathbb{Z}$の部分集合を元に持つ集合であり、元の数は$2$個である。何がどこに属しているか、元なのか集合なのかを大まかに見過ごさず、正確に定義に従って理解する練習をすることがいい。