📂動力学

シュワルツシルトの微分

定義¹

$p$を滑らかなマップ$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の固定点または周期点とする。

1. $f ' (c) = 0$である$c$を$f$のクリティカルポイント^{critical point}という。
2. $p$のベイジンが無限の長さの間隔を含む場合、インフィニティベイジン^{infinite Basin}という。
3. $\displaystyle S(f)(x) := {{f ''' (x) } \over { f '(x) }} - {{3} \over {2}} \left( {{f ''' (x) } \over { f '(x) }} \right)^2$を$f$のシュワルツィアン導関数という。
4. 全ての$f ' (x) \ne 0$に対して$S(f)(x) < 0$ならば$f$はネガティブシュワルツィアンを持っているという。
5. $\displaystyle h(x) := {{ax + b} \over {cx + d}}$をメビウスマップという。

定理

• [1]: $h$はメビウスマップ$\iff$$S(h)(x) = 0$である
• [2]: $f$と$g$がネガティブシュワルツィアンを持っていれば、$f \circ g$もネガティブシュワルツィアンを持っている。
• • ①: $p$のベイジンにクリティカルポイントが存在する、または
  • ②: $p$はインフィニティベイジンを持っている、または
  • ③: $p$は源である。