📂偏微分方程式

ポアソン方程式のディリクレ問題の解の一意性

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^n$が開いていて有界だとしよう。そして、$g \in C(\partial \Omega)$、$f \in C(\Omega)$だとしよう。それでは、以下のポアソン方程式のディリクレ問題において、解$u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$が存在すれば一意である(=最大でも1つ存在する)。

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= f && \text{in } \Omega \\ u &= g && \text{on }\partial \Omega \end{aligned} \right. \label{eq1} \end{equation}$$

証明

二つの関数$u,\ \tilde{u} \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$が$\eqref{eq1}$を満たすとする。そして関数$w :=u-\tilde{u}$を定義しよう。それでは、$\Omega$において、$\Delta w=\Delta u- \Delta \tilde{u}=f-f=0$より$w$は$\Omega$で調和的である。

調和関数の最大値原理

調和関数$u$に対して次のことが成り立つ。

$$\max \limits_{\bar{\Omega}} u = \max \limits_{\partial \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \quad \min \limits_{\bar{\Omega}} u= \min \limits_{\partial \Omega} u \right)$$

それでは、最大値原理によって次が成り立つ。

$$\max \limits_{\bar{\Omega}} w = \max \limits_{\partial \Omega} w$$

しかし、与えられた境界条件によって$w=g-g=0 \text{ in } \partial \Omega$であるため、次を得る。

$$\max \limits_{\bar{\Omega}} w = \max \limits_{\partial \Omega} w=0$$

同じ論理で、次も得られる。

$$\min \limits_{\bar{\Omega}} w = \min \limits_{\partial \Omega} w =0$$

したがって、$\bar{\Omega}$で$w=u-\tilde{u}=0$であるため、

$$u=\tilde{u} \text{ in } \bar{\Omega}$$

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