📂電磁気学

体積内の電荷が受ける電磁気力

概要¹

体積$\mathcal{V}$内の全ての電荷が受ける電磁力は以下の通りである。

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

$\mathcal{S}$は体積$\mathcal{V}$の境界面であり、$\mathbf{T}$は**マクスウェル応力テンソル、$\mathbf{S}$はポインティングベクトル**である。

導出

• Part 1.

ローレンツ力の法則により、電荷が受ける力は

$$ \mathbf{F}=q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$

電荷量を電荷密度で表すと、$q=\int \rho d\tau$になる

$$ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} \rho (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})d\tau $$

体積電流密度は$\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$であるから、

$$ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} (\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B})d\tau $$

両辺を微分して単位体積内の電荷が受ける力を表すと、

$$ \dfrac{d\mathbf{F}}{d \tau}=\mathbf{f}=\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} $$

マクスウェルの方程式

$\mathrm{(i)}\ \rho=\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}$, $\mathrm{(iv)}\ \mathbf{J}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B}-\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

マクスウェルの方程式を用いて$\mathbf{f}$を電磁場だけで表すと、

$$ \begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} \end{equation} $$

• Part 2.

$(1)$の右側の最後の項を修正するために、以下の式を見る。

$$ \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

ファラデーの法則

$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\nabla \times \mathbf{E}$

ファラデーの法則を使って上の式を整理すると、

$$ \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} = \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) $$

これを$(1)$に代入して整理すると、

$$ \begin{align} \mathbf{f} &= \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \left[ \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) \right] \nonumber \\ &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] - \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align} $$

• Part 3.

式を対称的にするために、つまり、きれいにするために$(2)$の二つ目の括弧の中に$(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$を足そう。$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$であるため、問題はない。そうすると、

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] \\ &\quad -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{aligned} \end{equation} $$

乗法規則

$$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} $$

また、乗法規則を使うと、

$$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} ) =\nabla(A^2) = 2(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + 2\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A} ) $$

このため、

$$ \begin{cases} \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) = -(\mathbf{E}\cdot\nabla) \mathbf{E} + \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \\ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) = -(\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{B} +\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \end{cases} $$ そして$(3)$に代入すると、

$$ \begin{align*} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} +(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} - \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} +(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} -\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align*} $$

式が複雑すぎるため、マクスウェルの応力テンソル$\mathbf{T}$を使って最初の3項を$\nabla \cdot \mathbf{T}$で表し、最後の項はポインティングベクトル$\mathbf{S}$で表現すると、式の形は

$$ \mathbf{f} = \nabla \cdot \mathbf{T} - \epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} $$

両辺を体積に対して積分し、右辺の最初の項に発散定理を使うと、

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

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