📂電磁気学

マクスウェルの応力テンソル

定義¹

以下のテンソル $\mathbf{T}$をマクスウェル応力テンソルと呼ぶ。

$$ \mathbf{T}=\overleftrightarrow{\mathbf{T}}=\begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{pmatrix} $$

$$ T_{ij}=\epsilon_{0} \left( E_{i}E_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}E^2 \right) + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left(B_{i}B_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}B^2 \right) $$

ここで、$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタである。

説明

$2$階のテンソルは上記のように定義される。ある体積$\mathcal{V}$内の電荷が受ける力を導出する過程で現れる。$2$階のテンソルであるため、9つの成分を持つ。下添字が1つのベクトルの場合、$\vec{A}$として表すこともあるが、同様に下添字が2つの$2$階のテンソルを$\overleftrightarrow{\mathbf{A}}$として表示することもある。しかし、私はこの表示方法をきれいだとは思わないので、この記事ではベクトルを示す方法と同じように、単純に太字で表示することにする。

式にクロネッカーのデルタが含まれているため、$i=j$の場合と$i \ne j$の場合で形がかなり違って見える。

$i=j$の場合には

$$ T_{xx}=\epsilon_{0} \left( {E_{x}}^2-\dfrac{1}{2}E^2\right) +\dfrac{1}{\mu_{0}}\left( {B_{x}}^2-\dfrac{1}{2}B^2 \right) $$

$E^2={E_{x}}^2+{E_{y}}^2+{E_{z}}^2$なので

$$ T_{xx}=\dfrac{\epsilon_{0}}{2} \left( {E_{x}}^2-{E_{y}}^2-{E_{z}}^2\right) +\dfrac{1}{2\mu_{0}}\left( {B_{x}}^2-{B_{y}}^2 -{B_{z}}^2\right) $$

$i \ne j$の場合には

$$ T_{xy}=\epsilon_{0}(E_{x}E_{y})+\dfrac{1}{\mu_{0}}(B_{x}B_{y}) $$

内積

マクスウェル応力テンソル$\mathbf{T}$と任意のベクトル$\mathbf{a}$との内積は、その成分が下添字を1つのみ持つため、ベクトル（$1$階のテンソル）であり、次のようになる。

$$ \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{T} &=\begin{pmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{pmatrix} \\ &= (a_{x}T_{xx}+a_{y}T_{yx}+a_{z}T_{zx},\ a_{x}T_{xy} + a_{y}T_{yy} + a_{z}T_{zy},\ a_{x}T_{xz} + a_{y}T_{yz} + a_{z}T_{zz}) \end{align*} $$

$$ \left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{T} \right)_{j}=\sum \limits_{i=x,y,z}a_{i}T_{ij} $$

発散

$\mathbf{T}$の発散もベクトルである。$\nabla \cdot \mathbf{T}$の$j$成分は

$$ \begin{align*} & \left( \nabla \cdot \mathbf{T} \right)_{j} \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ \nabla_{i}(E_{i}E_{j}) -\dfrac{1}{2}\nabla_{i}\delta_{ij}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ \nabla_{i}(B_{i}B_{j})-\dfrac{1}{2}\nabla_{i}\delta_{ij}B^2 \right] \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ \nabla_{i}E_{i}E_{j} +E_{i}\nabla_{i}E_{j} -\dfrac{1}{2}\nabla_{j}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ \nabla_{i}B_{i}B_{j}+B_{i}\nabla_{i}B_{j}-\dfrac{1}{2}\nabla_{j}B^2 \right] \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E})E_{j} +(\mathbf{E} \cdot \nabla) E_{j} -\dfrac{1}{2}\nabla_{j}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) B_{j}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) B_{j}-\dfrac{1}{2}\nabla_{j}B^2 \right] \end{align*} $$