📂関数

ディラックのデルタ関数の性質

特性

$$\begin{equation} \delta (-x) =\delta (x) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \delta (kx)= \frac{1}{|k|} \delta (x) \end{equation}$$

証明

$(1)$ の証明

$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (-x) dx$ を $-x \equiv y$ に置き換えると$x=-y$、$dx=-dy$ となり、

$$\begin{align*} \int_{-\infty } ^{ \infty } f(x) \delta (-x) dx =&\ -\int_{ \infty }^{-\infty} f(-y) \delta (y) dy \\ =&\ \int_{-\infty } ^{\infty } f(-y) \delta (y) dy \\ =&\ f(0) \\ =&\ \int_{-\infty } ^{\infty } f(x) \delta (x) dx \end{align*}$$

$$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue}\delta (-x)} dx = \int_{-\infty } ^{\infty } f(x) {\color{blue}\delta (x)} dx$$

従って、

$$\delta (-x) = \delta (x)$$

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$(2)$ の証明

$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx$ を $kx \equiv y$ に置き換えると $x=\frac{1}{k}y$、$dx=\frac{1}{k}y$ となり、

$$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx = \frac{1}{k} \int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy$$

しかし、この結果は $k>0$ の時だけです。$k<0$ の時は積分区間に注意する必要がある。

$k<0$ の時 $kx \equiv y$ に置き換えると $x=\frac{1}{k}y$、$dx=\frac{1}{k}y$ となり $(x \rightarrow \infty \ ,\ y \rightarrow -\infty)$、$( x \rightarrow -\infty \ ,\ y \rightarrow \infty)$なので、

$$\begin{align*} \int_{-\infty } ^{ \infty } f(x) \delta (kx) dx =&\ \frac{1}{k} \int_{\infty }^ { -\infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \\ =&\ \left( \frac{1}{-k} \right) \left(-\int_{\infty }^ { -\infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \right) \\ =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \end{align*}$$

従って、全ての実数 $k$ に対して考えると、

$$\begin{align*} \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \\ =&\ \frac{1}{|k|} f(0) \\ =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (x) dx \\ =&\ \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \frac{1}{|k|}\delta (x) dx \end{align*}$$

$$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue} \delta (kx)} dx=\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue} \frac{1}{|k|}\delta (x) } dx$$

$$\therefore \delta (kx) = \frac{1}{|k|}\delta (x)$$

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