📂電磁気学

マックスウェルの方程式

公式

マックスウェルの方程式^{Maxwell’s equations}

$(\text{i}) \quad \nabla \cdot \mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$ (ガウスの法則)

$(\text{ii}) \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0$ (磁場に対するガウスの法則)

$(\text{iii}) \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (ファラデーの法則)

$(\text{iv}) \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}+\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ (アンペールの法則)

説明¹

マックスウェルがマックスウェルの方程式を完成させる前、電場と磁場に関する4つの方程式は以下のようであった。

$(\text{i}) \quad \nabla \cdot \mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$

$(\text{ii}) \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0$

$(\text{iii}) \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

$(\text{iv}) \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}$

理論的には、電場と磁場の発散と回転に関するこれら4つの式だけで、ほぼ全ての電磁気学を説明できる。無駄にまとめられたわけではない。しかし、上の式の$\text{(iv)}$には大きな誤りがあった。回転の発散は常に$0$であるため、$(\text{iv})$の発散をとると次のようになる。

$$\begin{equation} 0 = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B})=\mu_{0} (\nabla \cdot \mathbf{J}) \ne 0 \end{equation}$$

ここで問題が生じる。定常電流の場合はアンペールの法則がうまく成り立ち右辺が$0$になるが、一般的にはそうではない。

右辺を$0$にするためのアイデアを得るために連続の方程式とガウスの法則を使って右辺を変更すると

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-\dfrac{ \partial( \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}=-\nabla \cdot \left(\epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \right)$$

したがって、$\mathbf{J}$の代わりに$\mathbf{J}+\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E} }{\partial t}$を使えば、$(1)$の右辺を$0$にすることができる。修正された$\text{(iv)}$は以下の通り。

$$\text{(iv)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

修正された式も静磁気学をそのまま満たすため、既存の法則を破ることなく誤りのある部分をうまく修正した。実際、マックスウェルがこれを後から修正したには理由がある。多くの電磁気学の法則は実験を通じて発見、証明された。しかし、通常、上記の式の二項の大きさの差があまりにも大きいため、実験的に発見することは非常に難しかった。

$$\left| \epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right| \ll \left| \mathbf{J} \right|$$

マックスウェルによって新しく修正された式は'変化する電場は磁場を生み出す'という意味を含んでいる。これは1888年のヘルツの電磁波実験で確認された。