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ラプラス方程式の平均値定理 📂偏微分方程式

ラプラス方程式の平均値定理

要旨1

開集合 Ω⊂Rn\Omega \subset \mathbb{R}^{n} が与えられたとしよう。そして u∈C2(Ω)u \in C^2(\Omega) が ラプラス方程式 を満たすとする。そうすると、各々の 開球 B(x,r)⊂⊂ΩB(x,r)\subset \subset \Omega に対して、以下が成り立つ。

u(x)=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)udS=:− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫∂B(x,r)udS=1α(n)rn∫B(x,r)udy=:− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫B(x,r)udy \begin{align*} u(x) &= \dfrac{1}{n \alpha (n)r^{n-1}} \int _{\partial B(x,r)} udS =: -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS \\ &= \dfrac{1}{\alpha (n)r^n}\int_{B(x,r)}udy =: -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*}

  • V⊂Vˉ⊂UV \subset \bar V \subset U かつ Vˉ\bar V が コンパクト の時、V⊂⊂UV\subset \subset U と表記する。
  • Vˉ\bar V は VV の閉包
  • B(x,r)={y∈Rn ∣ ∣y−x∣<r}B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|<r \right\}
  • ∂B(x,r)={y∈Rn ∣ ∣y−x∣=r}\partial B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|=r \right\}= B(x,r)B(x,r) の境界
  • − ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫∂B(x,r)udS=- \!\!\!\!\! \int _{\partial B(x,r)} udS = 開球 B(x,r)B(x,r) の境界での uu の平均値
  • − ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫B(x,r)udy=- \!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy= 開球 B(x,r)B(x,r) での uu の平均値

逆もまた成立する。

それぞれの開球 B(x,r)⊂ΩB(x,r) \subset \Omega で u∈C2(Ω)u \in C^2(\Omega) が以下のように平均値の特性を満たすとする。

u(x)=− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫∂B(x,r)udS u(x)=-\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u dS

すると、uu は 調和的 である。

証明

  • Part 1. ∫ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣−∂B(x,r)u(y)dS(y)=u(x)\int \!\!\!\!\!-_{\partial B(x,r)}u(y)dS(y)=u(x)

    固定点 x∈Ωx \in \Omega がある。そして dxd_{x} を以下のようにしよう。

    dx=dist(x,∂Ω):=inf⁡y∈∂Ω∣x−y∣>0 d_{x} = \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) := \inf \limits_{y \in \partial \Omega} |x-y| >0

    言い換えると、dxd_{x} は Ω\Omega 内部の点 xx から Ω\Omega の境界までの最短距離を意味する。そして φ(r)\varphi(r) を以下のように定義しよう。

    φ(r):=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)u(y)dS(y)for 0<r<dx=− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫∂B(x,r)u(y)S(y) \begin{align*} \varphi(r) &:= \dfrac{1}{n \alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} u(y) dS(y) \quad \mathrm{for}\ 0< r <d_{x} \\ &= -\!\!\!\!\!\!\int_{\partial B(x,r)} u(y)S(y) \end{align*}

    ここで、φ(r)\varphi(r) が rr と無関係であり、その値が u(x)u(x) であることを示すことが目的だ。従って、まず dϕdr=0\dfrac{d \phi}{dr}=0 であることを示さなければならない。求める結果を得るために、y=x+rzy=x+rz へ変数変換をしよう。すると y∈∂B(x,r)y \in \partial B(x,r)、z∈∂B(0,1)z \in \partial B(0,1) であり、dS(y)=rn−1dS(z)dS(y)=r^{n-1}dS(z) なので、以下が成り立つ。

    φ(r)=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)u(y)dS(y)=1nα(n)rn−1∫∂B(0,1)u(x+rz)rn−1dS(z)=1nα(n)∫∂B(0,1)u(x+rz)dS(z) \begin{align} \varphi(r) &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)r^{n-1}dS(z) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)dS(z) \label{eq1} \end{align}

    f(r)=g(x+rz)f(r)=g(x+rz) とすれば、全微分 は以下の通りだ。

    df=∂g∂(x1+rz1)d(x1+rz1)+⋯+∂g∂(x1+rz1)d(x1+rz1) df=\dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}d(x_{1}+rz_{1})+\cdots + \dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}d(x_{1}+rz_{1})

    すると、dfdr\dfrac{d f}{d r} は以下の通りだ。

    f′(r)=df(r)dr=∂g∂(x1+rz1)d(x1+rz1)dr+⋯+∂g∂(x1+rz1)d(x1+rz1)dr=∂g(x+rz)∂(x1+rz1)z1+⋯+∂g(x+rz)∂(x1+rz1)zn=(∂g(x+rz)∂(x1+rz1),⋯ ,∂g(x+rz)∂(x1+rz1))⋅(z1,⋯ ,zn)=Dg(x+rz)⋅z \begin{align*} f^{\prime}(r) &= \dfrac{df(r)}{dr} \\ &= \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\dfrac{ d(x_{1}+rz_{1})}{dr}+\cdots + \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\dfrac{ d(x_{1}+rz_{1}) }{dr} \\ &= \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}z_{1}+\cdots + \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}z_{n} \\ &= \left( \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}, \cdots , \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\right) \cdot(z_{1},\cdots,z_{n}) \\ &= Dg(x+rz)\cdot z \end{align*}

    これを (eq1)\eqref{eq1} に適用すると、以下を得る。

    φ′(r)=1nα(n)∫∂B(0,1)Du(x+rz)⋅zdS(z)=1nα(n)∫∂B(x,r)Du(y)⋅y−xr1rn−1dS(y)=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)Du(y)⋅y−xrdS(y)=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)Du(y)⋅νdS(y)=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)∂u(y)∂νdS(y)=1nα(n)rn−1∫B(x,r)Δudy=0 \begin{align*} \varphi^{\prime}(r) &= \dfrac{1}{n\alpha (n)} \int_{\partial B(0,1) } Du(x+rz)\cdot zdS(z) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)} \int_{\partial B(x,r)} Du(y) \cdot \dfrac{y-x}{r} \dfrac{1}{r^{n-1}}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \dfrac{y-x}{r}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \boldsymbol{\nu} dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} \dfrac{ \partial u(y)}{\partial \nu}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{B(x,r)} \Delta u dy \\ &= 0 \end{align*}

    ここで、ν\boldsymbol{\nu} は外向き単位法線ベクトル だ。4番目、5番目の等式は外向き単位法線ベクトルの定義によって成り立つ。y−xr\dfrac{y-x}{r} は ∂B(x,r)\partial B(x,r) から外を向いており、その大きさが 11 なので、y−xr=ν\dfrac{y-x}{r}=\boldsymbol{\nu} だ。6番目の等式は グリーンの公式(i) によって成立する。最後の等式は、uu が Δu=0\Delta u=0 を満たすという仮定により成立する。

    今、φ′(r)=0\varphi^{\prime}(r)=0 なので、ϕ(r)\phi (r) は 0<r<dx0<r<d_{x} である rr に対して一定だ。従って、以下が成り立つ。

    $$ \begin{align*} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) &= \varphi(r) = \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \varphi (t) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{n\alpha (n) r^{n-1}}\int _{\partial B(x,t)} u(y)dS(y) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,t)} u(y)dS(y)
    \\ &= u(x) \end{align*} $$

    もし t→0+t \rightarrow 0^+ ならば、球の直径は次第に縮小するので、その平均値は u(x)u(x) となる。

  • Part 2. ∫ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣−B(x,r)udx=u(x)\int\!\!\!\!\!\!- _{B(x,r)} udx=u(x)

    x,dxx, d_{x} が **Part 1.**と同じであるとしよう。すると、0<r<dx0 < r < d_{x} に対して以下が成立する。

    $$ \begin{align*} \int_{B(x,r)} u(y)dy &= \int_{0}^r \left( \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_{0}^r n\alpha (n)s^{n-1}\left( \dfrac{1}{n\alpha (n)s^{n-1}}\int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_{0}^r n\alpha (n)s^{n-1}\left( -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds
    \\ &= \int_{0}^rn\alpha (n)s^{n-1}u(x) ds
    \\ &= n\alpha (n) u(x) \int_{0}^r s^{n-1} ds \\ &= n\alpha (n) u(x) \dfrac{r^n}{n} \\ &= \alpha (n)r^n u(x) \end{align*} $$

    従って、右辺に uu だけを残して整理すると、以下のようになる。 − ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫B(x,r)udy=1α(n)rn∫B(x,r)udy=u(x) -\!\!\!\!\!\! \int_{B(x,r)} udy = \dfrac{1}{\alpha (n) r^n} \int_{B(x,r)} udy = u(x)

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  1. ローレンス・C・エヴァンス, 偏微分方程式 (第2版, 2010), p25-26 ↩︎