📂数値解析

数値解析におけるスプライン

ビルドアップ

インターポレーションってのは、正確な関数を復元するのではなく、似ているけど扱いやすい関数を求めることが目的だ。もちろん、エクスプリシットで計算が楽になるように求められたら最高だけど、この宇宙がそう簡単な場所じゃない。

問題によっては、簡単な部分を早く解決して、複雑な部分を丁寧に解く必要があるかもしれないし、連続性すら保証されないこともある。こんな感じで、全区間じゃなくて、各区間ごとに異なるインターポレーションを見つけることをピースワイズ インターポレーションっていう。

もちろん、部分に分けたからといって、無条件にいいわけではなくて、その中でも使えるインターポレーションが必要だ。

定義 ¹

区間 $[a,b]$ を $a \le x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} < \cdots x_{N} \le b$ のようなノードポイントで切り分けたとする。次の性質を持つ $s$ を $m$ 次のスプラインという。

• (P1): 各々の $[x_{i-1} , x_{i}]$ で $\deg s < m$
• (P2): $0 \le r \le m-2$ に対して $s^{(r)} (x)$ が $[a,b]$ で連続

説明

スプラインってのは、微分可能性に関して良い特性を持つポリノミアル インターポレーションで、実際にはいくつかの条件を加えて使用される。ピースワイズ インターポレーションだけあって、与えられたデータがメチャクチャなほど、一般的なポリノミアル インターポレーションより良い。

一緒に見る

• 解析学でのスプライン、B-スプライン