📂集合論

数学における同値関係

定義 ¹

反射的であり、対称的であり、推移的な２項関係を同値関係と呼ぶ。

説明

同値関係を数学的でない言葉で言うなら、「それがそれ」ということだ。

数学を研究するときにその理由が必ずしも必要ではないが、もし数学を研究する実用的な理由が絶対に必要であるとするならば、「もともと難しく複雑な概念を簡単でシンプルな領域に引き下げて、問題を楽に解決するため」と言えるだろう。この話をするためには「実質的に同じである」と表現することができなければならないが、これがまさに同値関係だ。

同値関係の例としては$=$, $\equiv$, $\iff$ などがあるが、これらの例だけでは数学で同値関係がなぜ重要なのか理解しづらい。新しい視点を持つには自然すぎるためだ。 $$ Q : = \left\{ ( n, m ): n\in \mathbb{Z} , m \in \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0 \right\} \right\} $$ 例えば、次のような集合 $Q$ があるとしよう。ここで、順序ペア $(n,m)$ を $\displaystyle (n,m) = {{n} \over {m}}$ のように書くと、$Q$ は私たちがよく知っている有理数の集合 $\mathbb{Q}$ と実質的に同じであると言える。しかし、詳しく調べてみると、$Q$ と $\mathbb{Q}$ を同じ集合とは言えない。なぜなら、$Q$ では $(2,3)$ と $(4,6)$ が異なる要素であるにも関わらず、$\mathbb{Q}$ では $\displaystyle {{2} \over {3}}$ と $\displaystyle {{4} \over {6}}$ が同じ要素であるからだ。$Q$ と $\mathbb{Q}$ の違いは、約分があるかどうかである。

$\mathbb{Q}$ では、私たちは馴染みのある同値関係を発見できる。この同値関係を $\sim$ と呼ぶと、次のように定義できるだろう。 $$ {{ a } \over { b }} \sim {{ c } \over { d }} \iff ad = bc $$ 実際、$\displaystyle {{2} \over {3}}$ と $\displaystyle {{4} \over {6}}$ を考えると、$2 \cdot 6 = 12 = 3 \cdot 4$ であるため、$\displaystyle {{2} \over {3}} \sim {{4} \over {6}}$ となり、$\mathbb{Q}$ で二つの要素が同値であると言える。反面、このような同値関係が $Q$ に与えられていない場合、$(2,3)$ と $(4,6)$ が実質的に同じであることを知っていても、同じと言うことができない。

このように、元々同じであるべきものを同じと言う作業は、一見無用であり、過度に理論的に感じられるかもしれない。私たちの直感は既に同じであることを知っているが、難しい言葉や記号を使って、言っていたことをまた言う感じだ。しかし、数学では厳密性を最高の価値としており、この過程は避けられないと同時に、それを利用して数学の限界を破ることもできる。 例えば、図のように線分を曲げて両端をくっつけたと考えてみよう。線分だったとき、二つの点は明らかに異なる点だった。しかし、同値関係を適用し、二つの点を実質的に同じ点として扱うことで、これまでとは完全に異なる、新しい輪が作られる。位相数学という分野は、このような現象を研究し、同値関係を用いて「くっつける」という行為を数学的に表現したものである。