関数のフーリエ級数が関数に絶対収束かつ一様収束する十分条件
定理
$[L, -L)$で定義された関数$f$が連続であり、断片的に滑らかである とする。すると $f$のフーリエ級数は$f$に絶対収束し、一様収束する。
$f$が断片的に滑らかな時、$f$のフーリエ級数は$f$に点ごとに収束する。もし$f$の不連続点がなくなり、$f$が連続であれば、$f$のフーリエ級数は$f$に絶対収束し、一様収束する。証明にはコーシー・シュワルツの不等式とワイエルシュトラスM-判定法が使われる。
関数$f_{n}$ と$z \in A$で$|f_{n}(z)| \le M_{n}$ を満たす正の数列$M_{n}$が存在し、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$が収束すれば$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$は絶対収束し $A$で一様収束する。
証明
$f$のフーリエ級数は$\sum c_{n}e^{i\frac{n\pi t}{L}}$であるため、これがある$a_{n}$以上で$a_{n} < \infty$であることを示す。
$f$のフーリエ係数とその導関数のフーリエ係数の 関係により
$$ c_{n}=\frac{L}{in\pi}c_{n^{\prime}} \quad n\ne 0 \\ \implies |c_{n}|=|\frac{L}{n\pi} c_{n^{\prime}}| $$
そして、ベッセルの不等式により
$$ \begin{equation} \sum \limits_{n= -\infty}^{\infty} |c_{n^{\prime}}| \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}|f^{\prime}(t)|^2dt < \infty \label{eq1} \end{equation} $$
今、$\sum |c_{n}|$を$c_{n^{\prime}}$として表すと
$$ \begin{align*} \sum \limits_{n= -\infty}^{\infty} |c_{n}| &= |c_{0}| + \sum _{n \ne 0} |c_{n}| \\ &= |c_{0}| + \sum _{n \ne 0} \left| \dfrac{L}{n\pi}c_{n^{\prime}} \right| \\ & \le & |c_{0}| + \left( \sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L^2}{n^2 \pi ^2} \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=|c_{0}| + \left( \dfrac{L^2}{\pi ^2}\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{1}{n^2 } \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*} $$
２行目はコーシー・シュワルツの不等式によって成り立ち、$\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} <\infty$、式$\eqref{eq1}$を使用すると最後の行は
$$ |c_{0}| + \left( \dfrac{L^2}{\pi ^2}\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{1}{n^2 } \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} < \infty $$
したがって、ワイエルシュトラス M-判定法により$\sum \limits_{-\infty}^{\infty}c_{n}$は$f$に絶対収束し、一様収束する。
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