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磁場内のエネルギー 📂電磁気学

磁場内のエネルギー

説明1

電荷分布が作る電場のエネルギーを考えたように、電流分布が作る磁場のエネルギーを考えることができる。回路に電流を流すとエネルギーが入る。このエネルギーの正体はまさに起電力に逆らってする仕事だ。起電力のために、回路に流れる電流を変えるのが難しい。だから、単位電荷が回路を一周するためには、起電力E-\mathcal{E}だけの仕事をしてやる必要がある。電流の定義が単位時間あたりに導体を通過する電荷量なので、単位時間あたりにした仕事の量は

dWdt=EI=LIdIdt \dfrac{d W}{dt}=-\mathcal{E}I=LI\dfrac{dI}{dt}

電流が00からIIになるまでの時間の区間にわたって両辺に積分を取ってやろう。そうすると、その間にした仕事は

dW=LIdI    W=12LI2 \begin{equation} \int dW = \int LI dI \quad \implies \quad W=\dfrac{1}{2}LI^{2} \end{equation}

これは電流が流れた時間とは関係のない値だ。ループの幾何学的特性(L)(L)と最後の電流値(I)(I)のみに依存する。ループを通過する磁束は自己インダクタンスに比例するので

Φ=LI \Phi=LI

一方、磁場のベクトルポテンシャルを用いて磁束を直接計算すると

Φ=Bda=(×A)da=Adl \Phi = \int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a} = \int ( \nabla \times \mathbf{A} ) \cdot d\mathbf{a} = \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}

最後の等号では、ストークスの定理を用いた。よって、

LI=Adl LI=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}

上の結果を(1)(1)に代入すると、

W=12IAdl=12(AI)dl W=\dfrac{1}{2}I \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}=\dfrac{1}{2} \oint (\mathbf{A} \cdot \mathbf{I}) dl

最後の等号は、電流の方向と線積分の方向がどちらも同じであるために成り立つ。どちらも導体に沿っていく方向なので、当然同じだ。これを体積電流で表すと、

W=12(AJ)dτ W=\dfrac{1}{2} \int ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{J} ) d\tau

ここで得られた式をさまざまな方法を通して、WWを磁場B\mathbf{B}だけで表すことが最終目標だ。アンペールの法則×B=μ0J\nabla \times \mathbf{B} =\mu_{0} \mathbf{J}を用いると、

W=12μ0A(×B)dτ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B} ) d\tau

デル演算子が含まれる式の部分積分

VA(×B)dτ=VB(×A)dτ+S(B×A)da \int_{\mathcal{V}} \mathbf{A} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) d\tau = \int_{\mathcal{V}} \mathbf{B} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \left( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \right) \cdot d \mathbf{a}

乗法則を用いて部分積分を行うと、

W=12μ0(VBBdτS(A×B)da)=12μ0(VB2dτS(A×B)da) \begin{align*} W &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} B^{2} d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \end{align*}

左辺は仕事の量として固定された定数だ。したがって、右辺の体積積分の値が大きくなると、面積積分の値は小さくならなければならない。(電場のエネルギーを求めるときと同じ方法を使った)積分領域を自由に広げてもいい理由は、とにかく電流が流れていない領域ではJ=0\mathbf{J}=0であり、元の値に00を加えても同じ値になるからだ。したがって、全空間に対して積分すると、面積積分の値は徐々に小さくなり00になり、

W=12μ0total spaceB2dτ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int_{\mathrm{total\ space}} B^{2} d\tau

この式が意味することは、エネルギーが磁場の中に蓄えられ、その密度は12μ0B2\frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}であることだ。


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p351-353 ↩︎