📂電磁気学

磁場内のエネルギー

説明¹

電荷分布が作る電場のエネルギーを考えたように、電流分布が作る磁場のエネルギーを考えることができる。回路に電流を流すとエネルギーが入る。このエネルギーの正体はまさに起電力に逆らってする仕事だ。起電力のために、回路に流れる電流を変えるのが難しい。だから、単位電荷が回路を一周するためには、起電力$-\mathcal{E}$だけの仕事をしてやる必要がある。電流の定義が単位時間あたりに導体を通過する電荷量なので、単位時間あたりにした仕事の量は

$$ \dfrac{d W}{dt}=-\mathcal{E}I=LI\dfrac{dI}{dt} $$

電流が$0$から$I$になるまでの時間の区間にわたって両辺に積分を取ってやろう。そうすると、その間にした仕事は

$$ \begin{equation} \int dW = \int LI dI \quad \implies \quad W=\dfrac{1}{2}LI^{2} \end{equation} $$

これは電流が流れた時間とは関係のない値だ。ループの幾何学的特性$(L)$と最後の電流値$(I)$のみに依存する。ループを通過する磁束は自己インダクタンスに比例するので

$$ \Phi=LI $$

一方、磁場のベクトルポテンシャルを用いて磁束を直接計算すると

$$ \Phi = \int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a} = \int ( \nabla \times \mathbf{A} ) \cdot d\mathbf{a} = \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$

最後の等号では、ストークスの定理を用いた。よって、

$$ LI=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$

上の結果を$(1)$に代入すると、

$$ W=\dfrac{1}{2}I \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}=\dfrac{1}{2} \oint (\mathbf{A} \cdot \mathbf{I}) dl $$

最後の等号は、電流の方向と線積分の方向がどちらも同じであるために成り立つ。どちらも導体に沿っていく方向なので、当然同じだ。これを体積電流で表すと、

$$ W=\dfrac{1}{2} \int ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{J} ) d\tau $$

ここで得られた式をさまざまな方法を通して、$W$を磁場$\mathbf{B}$だけで表すことが最終目標だ。アンペールの法則$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_{0} \mathbf{J}$を用いると、

$$ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B} ) d\tau $$

デル演算子が含まれる式の部分積分

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{A} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) d\tau = \int_{\mathcal{V}} \mathbf{B} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \left( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \right) \cdot d \mathbf{a} $$

乗法則を用いて部分積分を行うと、

$$ \begin{align*} W &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} B^{2} d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \end{align*} $$

左辺は仕事の量として固定された定数だ。したがって、右辺の体積積分の値が大きくなると、面積積分の値は小さくならなければならない。(電場のエネルギーを求めるときと同じ方法を使った）積分領域を自由に広げてもいい理由は、とにかく電流が流れていない領域では$\mathbf{J}=0$であり、元の値に$0$を加えても同じ値になるからだ。したがって、全空間に対して積分すると、面積積分の値は徐々に小さくなり$0$になり、

$$ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int_{\mathrm{total\ space}} B^{2} d\tau $$

この式が意味することは、エネルギーが磁場の中に蓄えられ、その密度は$\frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}$であることだ。