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任意の関数は常に奇関数と偶関数の和として表すことができる 📂関数

任意の関数は常に奇関数と偶関数の和として表すことができる

定理

R\mathbb{R}で定義された任意の関数ffは、常に偶関数奇関数の和として表せるんだ。

証明

fe(t)f_{e}(t)fo(t)f_o(t)を次のようにするんだ。

fe(t)=f(t)+f(t)2,   fo(t)=f(t)f(t)2 f_{e}(t)=\dfrac{ f(t)+f(-t)}{2},\ \ \ f_o(t)=\dfrac{ f(t)-f(-t)}{2}

すると、fe(t)f_{e}(t)は偶関数で、fo(t)f_o(t)は奇関数で、次の式が成り立つんだ。

fe(x)+fo(x)=f(x) f_{e}(x)+f_o(x)=f(x)