位相幾何学

位相数学^Topologyは空間に対する探求と関数の連続性に関する研究であり、学部生の立場からは解析学入門の一般化と見なすこともできる。数学全般でのその用途は、集合論に少し劣ると言っても過言ではない。

一般位相

トポロジー

• 位相空間とは？ $\left( X, \mathscr{T} \right)$
• 自明トポロジーと離散トポロジー
• 部分空間トポロジー 相対トポロジー
  • 部分空間での内部に関する諸性質
• 集積点と収束、導集合 $a '$
• 内部に関する諸同値条件 $A^{\circ}$
• 稠密性と閉包 $\overline{A}$
• 一般的な位相空間での数列の極限は一意ではない
  • 余引きトポロジーと余可算トポロジー
• 開写像と閉写像

基底

• 基底と局所基底 $\mathscr{B}$
  • 基底の同値条件
  • 基底から生成されるトポロジー
• 部分基底 $\mathscr{S}$
• 第一可算と第二可算
  • 距離空間の第一可算性と第二可算性
• アレクサンダー部分基底定理の証明

位相的性質

ホメオモルフィズム

• 連続とは？
  • 貼り付け補題
• 位相同型とは？
  • 位相同型写像は基底を保つ
• 埋め込み

位相的性質

• 位相的性質
  • 遺伝的性質
• 不動点性質
• 分離公理 $T_{n}$
  • T1空間であることと全ての有限部分集合が閉じていることは同値である
  • ハウスドルフ空間では数列の極限は一意である
  • ウリゾーン補題とチコノフ拡張定理

連結性

• 連結性とは？
  • 連結空間の様々な同値条件
  • 全射連続関数は連結性を保つ
  • 連結空間の部分空間の性質
• 中間値定理
• 連結成分と完全分離空間
• 経路連結性とは？
• 経路連結成分
  • 位相学者のサイン曲線とブラシ空間
• 局所連結と局所経路連結

コンパクト

位相数学で学ぶ多くのことが重要だが、コンパクトはその中でも特にさらに重要である。位相数学が苦手でも、コンパクトだけはしっかりと勉強しよう。

• コンパクト、プレコンパクトとは？
  • 完全有界空間
  • 距離空間がコンパクトであることと完備であり完全有界であることは同値である
• 集積点コンパクトとボルツァーノ・ワイエルシュトラス性
• 可算コンパクトとリンデレーフ
• 数列コンパクト
• 有限交差性質 f.i.p.
• コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である
• コンパクト空間と連続関数に関する有用な性質
• 最大最小値定理
• ルベーグの定理
• 一様連続性定理
• ペアノ空間の充填定理
• 一点コンパクト化

空間

積と商

• 弱いトポロジー
• 商空間 $X/\sim$
• 積空間 $\prod$
• ティホノフ定理の証明
• 関数空間 $Y^{X}$

マニフォルド

• 多様体とは？
• 座標系とは？
• 分離合併位相空間

ネームド空間

• カントール集合
  • ベールのカテゴリー定理の証明
• トーラス $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$

主要参考文献

• Croom. (1989). Principles of Topology
• Munkres. (2000). Topology(2nd Edition)