位相データ分析
TDA位相データ解析は、2020年代に入って特に注目を集めているデータ分析手法であり、代数トポロジーAlgebraic Topologyを応用して、データが持つ本質的な形そのものに関心を持つ方法論です。統計学やディープラーニングが席巻した現代社会に残された難問を解決するための有望な手法とされており、特に非構造データの分析に適しているとされています。
代数トポロジー
ホモトピー
- ディスクとスフィア $D^{n}$, $S^{n-1}$
- ホモトピー $H : I \times I \to X$
- 基本群 $\pi_{1} \left( X , x_{0} \right)$
- カバリングとリフト $p \circ \tilde{f} = f$
- 誘導されるホモモルフィズム $\varphi_{\ast}$
- 連続関数の相対ホモトピー $f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$
- 円の基本群は整数群と同型である $\pi_{1} S^{1} \simeq \mathbb{Z}$
- 積空間の基本群は基本群の積と同型である $\pi_{1} AB \simeq \pi_{1} A \times \pi_{1} B$
- ホモトピー型
- 収縮可能空間
- レトラクト $r \circ i = \text{id}$
コンプレックス
- トポロジーにおけるコンプレックスとは?
- CWコンプレックス
- シンプリシャルコンプレックス $K$
- 抽象シンプリシャルコンプレックス
- $\Delta$-コンプレックス
- ヴィエトリス・リプスコンプレックス $\text{VR}_{\varepsilon}$
- チェックコンプレックス $\check{C}_{\varepsilon}$
フリーグループ
ホモロジー
- ホモロジーグループ $H_{n}$
- シンプリシャルホモロジーグループ $H_{n}^{\Delta}(X)$
- 境界行列 $\partial_{p}$
- オイラー標数とベッチ数の関係 $\chi = \sum (-1)^{p} \beta_{p}$
計算トポロジー
パーシステントホモロジー
- コンプレックスのフィルトレーション $K^{i}$
- パーシステントホモロジーグループ $H_{k}^{i,p}$
- パーシステントモジュール $\mathcal{M}$
- ジョモロジアンのアルゴリズム導出
- ジョモロジアンのアルゴリズム実装
主要参考文献
- Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction
- Dantchev. (2012). Efficient construction of the Cech complex
- Hatcer. (2002). Algebraic Topology
- Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology
- Raul Rabadan. (2020). Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
- Sheffar. (2020). Introductory Topological Data Analysis
- Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology
全體ポスト
- 抽象代数学における自由群
- ホモロジー群の定義
- 位相数学におけるディスクとスフィア
- 位相数学における複体とは?
- CWコンプレックスの定義
- 単体複合体の定義
- デルタ-コンプレックスの定義
- シンプリシアルホモロジーグループの定義
- ベルツルアルゴリズム: 最小内包ディスク問題の解法
- 行列のスミス標準形
- スミス標準形の存在証明
- フリーグループとその部分群
- ねじれ部分群の定義
- 同型写像のスミス標準形
- 有限生成アーベル群の基本定理の証明
- ホモロジーグループのベッチ数
- ベトリス-リプス コンプレックスの定義
- チェック複体の定義
- 計算トポロジーにおける境界行列
- 代数的トポロジーにおけるオイラー指標
- 抽象単体複合体の定義
- ホモトピーの定義
- ホモトピー類
- 代数位相幾何学における基本群
- 代数トポロジーにおける被覆と持ち上げ
- 代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明
- モノドロミー定理の証明
- 代数トポロジーにおける誘導された準同型写像
- 連続関数の相対的ホモトピー
- 円の基本群は整数群と同型である
- 積空間の基本群は基本群の積と同型である
- ホモトピー型
- トーラスの基本群は二つの整数群の積と同型である
- 定義可能な空間の定義
- 位相数学におけるレトラクト
- 複素体のフィルトレーション
- 永続ホモロジーグループの定義
- パーシステント・モジュール
- ジョモロジアンのアルゴリズム誘導
- ジョモロジアンのアルゴリズムの実装