レンマ

数学全般で一般的に使用され、特定のカテゴリーに分類するのが難しい定義、補題^lemma、トリックなどを紹介します。

定義

• 円周率 $\pi$
• 区間 $[a,b]$
• 根と解の違い
• 不動点 $x_{0} = f \left( x_{0} \right)$
• 調和平均
• 数学でのweakとstrongの意味
• クローズドフォーム
• 해밍 거리 $H$
• 漸化式
• 連分数

定理

• 乗法公式表
• ルートが含まれた分数の有理化を素早くする
• 一の位が5の二桁数のべき乗を簡単にする
• 二重根号の展開公式 $\sqrt{a + b \pm 2\sqrt{a b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
• 二次関数の極値を素早く求める
• 平方数の和を求める
• 等差数列の和を求める
  • 等差数列の部分和も等差数列
• 等比数列の和を求める
  • 等比数列の部分和も等比数列
• フィボナッチ数列の一般項
• 二項定理
• ガビの定理
• 元がn個の有限集合の部分集合の数

トリック

• ビッグオーノーテーションが分母にある時、分子に上げる方法
• 指示関数の積 🔵
• 累積平均の公式 🔵

不等式

• 算術平均と幾何平均及び調和平均の間の不等式
• コーシー・シュワルツの不等式
  • 確率変数のコーシー・シュワルツの不等式 🔵
• ヤングの不等式
• ベルヌーイの不等式
• 有限形のイェンセンの不等式
• 積分形のイェンセンの不等式
• 期待値形のイェンセンの不等式 🔵
• マルコフの不等式 🔵
• チェビシェフの不等式 🔵
• グロンウォールの不等式
• 複数の不等式を要約する不等式の形 🔵
• 対数関数に関する不等式 $1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1$

積分公式

• $e^{-x^{2}}$形の定積分、ガウス積分、オイラー・ポアソン積分
  • ガウス積分の一般化
• $e^{x^{2}}$形の不定積分
• 三角関数の積分表
• $\dfrac{1}{x^p}$の積分可能性
• $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \pi$, $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \tan^{-1} x + C$
• よく使う二次関数の定積分 $\int _{ \alpha  }^{ \beta  }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx }=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 }$
• 自然対数のべき乗の積分法 $\int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx$

극한

• $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$