多変数ベクトル解析
多変数ベクトル解析では、次のような関数の微分と積分について扱う。
- ベクトル値関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$
- 多変数関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$
- 多変数ベクトル関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$
実数関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は 解析概論 カテゴリで扱う。
特に3次元関数 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ と $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ は、数学的な厳密さを少し控えて物理学や工学専攻者のレベルに合わせた 数理物理 カテゴリで扱う。
ユークリッド空間
ベクトル値関数
ベクトル値関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$ について扱う。
微分
積分
多変数関数
多変数関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ について扱う。
微分
- 全微分
- 方向微分
- スカラーフィールドの勾配 $\nabla u = \operatorname{grad}u$
- ラプラス作用素 $\Delta u = \nabla^{2} u$
- ヘッセ行列
- テイラーの定理
- スカラー関数のベクトルと行列の導関数表 $\nabla \mathbf{w}^{T} R \mathbf{x}$
積分
多変数ベクトル関数
$\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ について扱う。
微分
積分
主要参考文献
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition, 1976)
- William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
全體ポスト
- 벡터값 함수의 도함수
- 벡터값 함수의 극한과 연속
- n차원 유클리드 공간에서 두 벡터 사이의 각도
- ユークリッド空間における内積
- パップス-グルディンの定理の証明
- スカラー関数とベクトル値関数
- ヤコビ行列あるいはジャコビ行列とは
- ヘシアン行列とは何か?
- スカラーフィールドの勾配
- ベクトル場における体積
- ベクトル場における発散
- ベクトル値関数の積分
- ベクトルと行列の導関数表
- 偏微分_functions
- 多変数関数の積分
- スカラー場のラプラシアン
- 偏導関数:多変数ベクトル関数の導関数
- 正則写像
- 方向微分の定義
- 多変数ベクトル関数の連鎖律
- 合成関数のヤコビアン
- 解析学における逆関数定理
- 多変数関数のテイラーの定理
- n次元極座標
- 残差二乗和の勾配
- 偏微分の記号を使い分ける理由