多変数ベクトル解析

多変数ベクトル解析では、次のような関数の微分と積分について扱う。

• ベクトル値関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$
• 多変数関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$
• 多変数ベクトル関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$

実数関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は 解析概論 カテゴリで扱う。

特に3次元関数 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ と $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ は、数学的な厳密さを少し控えて物理学や工学専攻者のレベルに合わせた 数理物理 カテゴリで扱う。

ユークリッド空間

• ユークリッド空間とは $\mathbb{R}^{n}$
• スカラー関数とベクトル関数
• ユークリッド空間における内積とは
• ユークリッド空間における二つのベクトルの間の角度"
• n次元極座標

ベクトル値関数

ベクトル値関数 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$ について扱う。

微分

• 極限と連続
• 微分
  • 大きさが一定のベクトル値関数は導関数と直交する

積分

• 積分

多変数関数

多変数関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ について扱う。

微分

• 全微分
• 方向微分
• スカラーフィールドの勾配 $\nabla u = \operatorname{grad}u$
• ラプラス作用素 $\Delta u = \nabla^{2} u$
• ヘッセ行列
• テイラーの定理
• スカラー関数のベクトルと行列の導関数表 $\nabla \mathbf{w}^{T} R \mathbf{x}$
  • 残差平方和の勾配 $\nabla \left\| \mathbf{y} - X \mathbf{w} \right\|_{2}$

積分

• 多変数関数の積分

多変数ベクトル関数

$\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ について扱う。

微分

• 全導関数
• ヤコビ行列(ジャコビ行列)
  • 合成関数のヤコビアン
• 正則写像
• 偏導関数
  • 偏微分の記号を変えて書く理由 $d \overset{?}{\to} \partial$
• 多変数ベクトル関数の連鎖律
• 逆関数定理
• ベクトル場の発散

積分

• ベクトル場の体積

行列微分

• 🔒(25/05/30)微分の一般化：勾配行列と行列微分 $\nabla_{\mathbf{X}}f$
  • 🔒(25/07/03)二次形式と双線形形式の行列微分
  • 🔒(25/07/09)トレースの行列微分
• 🔒(25/07/13)行列変数関数の全微分 $\mathrm{d}f = \Tr \left( \left( \nabla_{\mathbf{X}}f \right)^{\mathsf{T}} \mathrm{d}\mathbf{X} \right)$
• 🔒(25/07/15)行列微分解剖 $\mathrm{d}\mathbf{X}$

主要参考文献

• Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976)
• William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
• James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)