確率微分方程式

人類の大半は次の方程式を不快に感じる。

$$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} $$

確率微分方程式は上のような方程式を指し、それなりに経験を積んだ数学者にとっても馴染みがなく、客観的に見てもかなり難しいテーマだ。基礎的な位相数学、測度論を含む確率論と確率過程論をかなりのレベルまで理解していなければならず、学部生から全く関係ない分野を切り捨てて確率微分方程式を専攻すると決めない限り、修士くらいになってもまだ難しいかもしれない。測度論を使わない確率過程論でさえ学部生にはかなり難しく、その上に常微分方程式もある程度は理解しておく必要があり、先行科目とはまた違った感じで数理統計学を体得しておくことが推奨される。広く深い理解のためには偏微分方程式と時系列分析、そして応用まで見据えるなら経済、金融に関する学識も必要だ。

イトー積分

• $m^{2}$ 空間
• イトー積分
  • イトー等距離等式
  • イトー乗算テーブル
  • イトー部分積分
• イトープロセス
• イトー公式
• イトー表示定理とマルチンゲール表示定理
• イトー-テイラー展開

微分方程式

• 確率微分方程式とは？ SDE
• SDEでの白色雑音
  • 白色雑音はブラウン運動の超関数的導関数である
  • 解の存在性と一意性、強い解と弱い解
• 線形、同次、自励SDE
  • 典型的なSDEの解
• フォッカー-プランク方程式の導出

モデル

• ブラウンの橋
• オルンシュタイン-ウーレンベック方程式
• コックス-インガーソル-ロスモデル、CIRモデル
• CKLS平均回帰ガンマ確率微分方程式
• ブラック-ショールズモデル導出

数値的解法

• 強い収束と弱い収束
• オイラー-マルヤマメソッド
• ミルスタインメソッド
• ショジ-オザキ局所線形化メソッド
  • ランベルティ変換

主要参考文献

• Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
• Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling