フーリエ解析

フーリエ解析^{Fourier analysis}または調和解析^{harmonic analysis}とは、フーリエ級数やフーリエ変換を利用して対象を研究する分野を指します。

フーリエ級数

• 三角関数の集合は直交性を持つ
• 互いに直交する三角関数の和
• 指数関数集合、三角関数集合は$L^{2}$の正規直交基底である
• フーリエ級数導出
• ディリクレカーネル
• 複素フーリエ級数
• 導関数のフーリエ係数
• フーリエ級数の定積分
• フーリエコサイン級数とサイン級数 偶関数と奇関数のフーリエ係数
• 半波対称関数のフーリエ係数
• フーリエ級数の定数項は関数の一周期平均と同じである
• フーリエ級数に関するベッセル不等式

収束性

• リーマン積分可能な関数のフーリエ級数は収束する
• 不連続点でのフーリエ級数の収束性
• フーリエ係数の極限は$0$である
• 関数のフーリエ級数が関数として絶対収束一様収束する十分条件

フーリエ変換

• フーリエ変換導出
  • フーリエ変換の複数の定義と記法
  • フーリエ変換の様々な解釈
• フーリエ変換の性質
• リーマン・ルベーグ補題
• フーリエ逆変換定理
  • 滑らかな関数に対するフーリエ逆変換定理
• プランシュレル定理

複数関数のフーリエ変換

• ガウス関数のフーリエ変換
• 特性関数のフーリエ変換
• ディラックのデルタ関数のフーリエ変換

離散フーリエ変換

• 離散フーリエ変換^DFT
• 離散フーリエ変換の性質
• 離散フーリエ逆変換
• 高速フーリエ変換^FFT

応用

• 微分方程式: 熱方程式の解
• 信号解析: サンプリング定理
• 量子力学: ハイゼンベルク不等式

コンボリューション

• コンボリューションの定義
  • 性質
  • 多変数関数のコンボリューション
• コンボリューションのサポート
• コンボリューション収束定理
• コンボリューションノルム収束定理

メリン変換

• メリン変換
• メリン変換のコンボリューション

ウェーブレット解析

• ウェーブレットの定義
• マルチレゾリューション解析
• スケーリング方程式

スプライン

• スプライン、B-スプライン
• 性質
• フーリエ変換
• 明示的公式
• 正則性
• セントラルB-スプライン
• スケーリング方程式

主要参考文献

• Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992)
• 최병선, Fourier 해석 입문 (2002)