表現論

リー群^{Lie groups}

• 群代数 $\mathbb{C}[G]$
• 位相群
• リー群

行列リー群

• 行列リー群
• 一般線型群 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$
  • 特殊線型群 $\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$
• 直交群 $\operatorname{O}(n)$
  • 特殊直交群 $\operatorname{SO}(n)$
  • 一般直交群 $\operatorname{O}(n, k)$
• ユニタリ群 $\mathrm{U}(n)$
  • 特殊ユニタリ群 $\operatorname{SU}(n)$
• 斜交群 (シンプレクティック群) $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$
  • コンパクト シンプレクティック 群 $\operatorname{Sp}(n)$
• ユークリッド群 $\operatorname{E}(n)$
• ハイゼンベルク群 $H$

位相的性質

• コンパクトリー群
• 連結リー群
• 単連結リー群

リー代数^{Lie algebras}

• 多様体上の代数
• リー代数 $\mathfrak{g}$
  • リ部分代数
  • リー代数同型写像
• 🔒(26/09/30)리 대수의 표현 $\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$
• リー代数の構造定数
• リー代数の直和 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$
• 随伴写像 $\operatorname{ad}$
• 🔒(26/10/04)킬링 폼 $B(X, Y) = \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y})$
• 🔒(26/10/02)리 대수의 사다리 연산자
• 行列のリー群のリー代数
  • 🔒(26/09/04)일반 선형 리 대수 $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})$
  • 特殊線型リー代数 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$
    • 🔒(26/09/22)2차 특수 선형 리 대수 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$
  • 🔒(26/09/12)특수 직교 리 대수 $\mathfrak{so}(n)$
  • 🔒(26/09/08)유니터리 리 대수 $\mathfrak{u}(n)$
  • 🔒(26/09/06)특수 유니터리 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$
    • 🔒(26/09/10)2次特殊ユニタリ・リー代数 $\mathfrak{su}(2)$

表現^{representations}

• 群の表現 $\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$
• 群表現の同型写像
  • 🔒(26/10/10)얽힘 사상
• 群の既約表現
• 群表現の直和 $\rho = \rho_{1} \oplus \rho_{2}$

主要参考文献

• William Fulton and Joe Harris. Representation Theory: A First Course (2004)
• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations (2nd)