測度論

測度論と確率論の要約: 基本的な定義と概念を一つの記事にまとめた。

実数 $\mathbb{R}$ で定義される測度

• 零集合
• 外測度 $m^{\ast}$
• シグマ代数と可測空間 $(X, \mathcal{E})$
• ルベーグ測度 $m$
• ボレル集合
• ルベーグ可測関数
• 測度論でのほとんど至る所とほとんど確実に
• 任意の関数を二つの非負の関数で表す方法
• 任意の関数の絶対値を二つの非負の関数で表す方法

積分

• 可測空間のパーティションとリファインメント
• ルベーグ積分
  • リーマン積分の一般化としてのルベーグ積分
• ファトゥの補助定理
• 単調収束定理
• ルベーグ可積分
• 支配収束定理
• 測度論でのレヴィの定理

一般的な測度

• 代数、準測度
• 測度の一般的な定義
  • シグマ有限測度
  • 正則測度
• 可測関数
  • 実数値可測関数の性質
  • 単純関数列に収束する可測関数の存在
  • エゴロフ定理：点収束する可測関数はほとんど一様収束する
  • ルジン定理：可測関数は近似する連続関数が存在する
• ボレル $\sigma$-代数、ボレル可測空間
• 拡張された実数値を持つ関数が可測関数であるための必要十分条件
• カラテオドリの定理
• 測度の絶対連続性
  • 実関数の絶対連続性
• ラドン・ニコディム微分
• ラドン・ニコディムの定理
• 一様可積分性
• 測度収束
• ヴィタリ収束定理
• パイシステムとラムダシステム
• ダインキンのパイ-ラムダ定理
• 測度の弱い収束

符号測度と微分

• 符号測度
• 正集合、負集合、零集合
• ハーンの分解定理
• 相互に特異
• ジョルダン分解定理
• 全変動
• 符号測度の絶対連続性
• ルベーグ・ラドン・ニコディムの補助定理
• 絶対連続と可積分な関数の関係
• 複素測度、ベクトル測度
• マクシマル補助定理
• ハーディ・リトルウッドのマクシマル関数
• マクシマル定理
• 局所可積分な関数の平均値は中心の関数値に収束する

主要参考文献

• Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995)
• Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)