集合論

集合論は、現代数学の基盤をなす重要な理論で、普通の学部生はこれを通じて真の数学の抽象性に初めて触れることになります。集合論を学ぶ理由は、新しい概念を学ぶためではなく、もともと知っていた曖昧な概念を厳密で堅固な形に作り変えるためです。すぐには役に立たないように見えても、自慢せずに丁寧に勉強しましょう。

初等論理

命題

• 命題と結合子、真理値表
• 恒真命題と恒偽命題
  • 恒真命題
• ド・モルガンの法則

間接証明法

• 対偶法の数理論理的証明
• 背理法の数理論理的証明
• 三段論法の数理論理的証明
• 数学的帰納法

集合と公理

集合

• 集合と命題関数の定義
  • 集合の包含関係 $\subset$
  • 命題関数の限量規則 $\forall, \exists$
  • 要素列挙法での帽子記号 $\hat{k}$
• ラッセルの逆理
• 集合族と添字

公理系

• 選択公理が加わったツェルメロ-フレンケル集合論
  • 外延公理 $=$
  • 空集合公理 $\emptyset$
  • 対公理
  • 分類公理形 $\cap$, $\setminus$, $X^{c}$
  • 合併公理 $\cup$
  • 冪集合公理 $\mathcal{P}(X) = 2^{X}$
  • 無限公理
  • 正則性公理
  • 置換公理形
  • 選択公理

関係と関数

順序対

• デカルト積 $\times$
• 二項関係
• 同値関係 $\sim$
• 部分順序集合

分割

• 集合の分割
  • 分離合併：互いに素な合併
  • 単位分割
• 同値類
• 同値関係による集合の分割

写像

• 集合論で厳密に定義される関数と像、数列
• 関数の原像
  • 飽和、ファイバー
• 単射、全射、全単射、逆関数
  • 全射、単射、値域、像を簡単に覚える方法、意味解説

基数

無限

• 集合論で厳密に定義される有限集合と無限集合
• 可算集合と非可算集合
• カントールの対角線論法
• 集合の基数 $\text{card}$

連続体仮説

• カントール-ベルンシュタイン定理
• カントールの定理
• 実数の基数と有理数の基数の大小比較
• 連続体仮説

主要参考文献

• 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach)