位相データ分析

TDA^{位相データ解析}は、2020年代に入って特に注目を集めているデータ分析手法であり、代数トポロジー^{Algebraic Topology}を応用して、データが持つ本質的な形そのものに関心を持つ方法論です。統計学やディープラーニングが席巻した現代社会に残された難問を解決するための有望な手法とされており、特に非構造データの分析に適しているとされています。

代数トポロジー

ホモトピー

• ディスクとスフィア $D^{n}$, $S^{n-1}$
• ホモトピー $H : I \times I \to X$
  • ホモトピーのクラス $f \simeq g$
• 基本群 $\pi_{1} \left( X , x_{0} \right)$
• カバリングとリフト $p \circ \tilde{f} = f$
  • リフティング定理の証明
  • モノドロミー定理の証明
• 誘導されるホモモルフィズム $\varphi_{\ast}$
• 連続関数の相対ホモトピー $f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$
• 円の基本群は整数群と同型である $\pi_{1} S^{1} \simeq \mathbb{Z}$
• 積空間の基本群は基本群の積と同型である $\pi_{1} AB \simeq \pi_{1} A \times \pi_{1} B$
  • トーラスの基本群は二つの整数群の積と同型である $\pi_{1} T^{2} \simeq \mathbb{Z}^{2}$
• ホモトピー型
• 収縮可能空間
• レトラクト $r \circ i = \text{id}$

コンプレックス

• トポロジーにおけるコンプレックスとは？
• CWコンプレックス
• シンプリシャルコンプレックス $K$
• 抽象シンプリシャルコンプレックス
• $\Delta$-コンプレックス
• ヴィエトリス・リプスコンプレックス $\text{VR}_{\varepsilon}$
• チェックコンプレックス $\check{C}_{\varepsilon}$
  • ヴェルチアルゴリズム：最小包含円問題の解法

フリーグループ

• フリーグループ $F[A]$
  • フリーグループのサブグループ
• トーショングループ $T$
• 行列のスミス標準形
  • スミス標準形計算アルゴリズムの証明
• ホモモルフィズムのスミス標準形
• 有限生成アーベル群の基本定理の証明

ホモロジー

• ホモロジーグループ $H_{n}$
  • ホモロジーグループのベッチ数 $\beta_{p}$
• シンプリシャルホモロジーグループ $H_{n}^{\Delta}(X)$
• 境界行列 $\partial_{p}$
• オイラー標数とベッチ数の関係 $\chi = \sum (-1)^{p} \beta_{p}$

計算トポロジー

パーシステントホモロジー

• コンプレックスのフィルトレーション $K^{i}$
• パーシステントホモロジーグループ $H_{k}^{i,p}$
• パーシステントモジュール $\mathcal{M}$
• ジョモロジアンのアルゴリズム導出
• ジョモロジアンのアルゴリズム実装

主要参考文献

• Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction
• Dantchev. (2012). Efficient construction of the Cech complex
• Hatcer. (2002). Algebraic Topology
• Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology
• Raul Rabadan. (2020). Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
• Sheffar. (2020). Introductory Topological Data Analysis
• Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology