数値解析

数学がどれほど偉大であっても、世の中のすべての問題を紙とペンだけで解決することはできない。数値解析 は、機械を用いて近似的に問題を解決する方法論であり、数学を応用する研究において不可欠な貴重なツールである。

関数と積分

微分

• 差分 $\Delta$
• 有限差分法（FDM）
  • 複数の点を使用する有限差分の導出
• 🔒(25/04/07) 複素ステップ微分近似

補間法

• 差分商 $f \left[ x_{0} , \cdots , x_{n} \right]$
  • エルミート-ジェノッキの公式
• 補間（インターポレーション）
• 多項式補間
  • ラグランジュ補間の導出
  • ニュートン差分商公式の導出
• エルミート補間
• スプライン
  • B-スプライン

関数近似

• 関数近似
  • 最小極大近似と最小二乗近似
• 第1種チェビシェフ多項式 $T_{n}$
• 第2種チェビシェフ多項式 $U_{n}$
• 第1種および第2種チェビシェフ多項式の関係
• チェビシェフ展開
• チェビシェフノード

数値積分

• 数値積分
• 台形則 $I_{n}^{1}(f)$
• シンプソン則 $I_{n}^{2}(f)$
• ニュートン-コーツ積分公式 $I_{n}^{p}(f)$
• 数値的に広義積分を計算するための変数変換トリック
• ガウス求積法
• ラゲール多項式 $L_{n}$
• エルミート多項式 $H_{e_{n}}$, $H_{n}$
• 数値的に広義積分を計算するためのガウス求積法

方程式

代数方程式の数値解法

• 収束率
• 二分法（バイセクションメソッド）
• ニュートン-ラフソン法
  • 非線形システムを解くためのニュートン法
• セカント法
• ミュラー法

微分方程式の数値解法

• 微分方程式ソルバーとは？
  • 🔒(25/06/28) 陽的手法より陰的手法が推奨される状況
  • 🔒(25/07/02) 常微分方程式を時間を逆に解くトリック
• リプシッツ条件
• オイラー法
  • 強リプシッツ条件とオイラー法の誤差
  • 初期値が少し変化した場合のオイラー法の誤差
• マルチステップ法
  • マルチステップ法の整合性と収束次数
  • マルチステップ法の収束性と誤差
• 寄生解（パラサイティックソリューション）
  • ミッドポイント法
• 台形法
• リチャードソン誤差推定
• アダムス法
• マルチステップ法のルート条件
  • 整合性を持つマルチステップ法の安定性とルート条件
  • 整合性を持つマルチステップ法の収束性とルート条件
• A-安定性
• 陽的ルンゲ-クッタ法（ERK）
  • 4次ルンゲ-クッタ法（RK4）
  • 係数を決定する方法
• 陰的ルンゲ-クッタ法（IRK）

偏微分方程式

• 熱方程式: 有限差分法（FDM）
• 熱方程式: 線形法（the method of lines）
• 波動方程式: 有限差分法（FDM）
• 波動方程式: $k$-空間法
• 波動方程式: 吸収境界条件

主要参考文献

• Atkinson. (1989). An Introduction to Numerical Analysis(2nd Edition)