レンマ

수学全般で広く使われていて、特定のカテゴリにまとめるのが難しい定義、補題^lemma、トリックなどを紹介する。

• 🔒(25/06/19)チェ・ビョンソン教授による無料配布の数学・統計学・経済学教材

定義

• 円周率 $\pi$
• 区間 $[a,b]$
• 根と解の違い
• 不動点 $x_{0} = f \left( x_{0} \right)$
• 数学におけるweakとstrongの意味
• クローズドフォーム
• ハミング距離 $H$
• 漸化式
• 連分数
• 疑似コード

整理

• 乗法公式表
• 二重根号展開公式 $\sqrt{a + b \pm 2\sqrt{a b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
• ガビのリ

平均

• 幾何平均
• 調和平均
• 累積平均公式 🔵
• 算術平均と幾何平均・調和平均の間の不等式

トリック

• 二次関数の極値を速やかに求める
• ルートを含む分数の有理化を速やかに行う
• 一の位が5の二桁数の累乗を簡単にする
• ビッグO表記が分母にあるときに分子に移す方法
• 指示関数の積 🔵

不等式

• コーシー・シュワルツ不等式
  • 確率変数のコーシー・シュワルツ不等式 🔵
• 零の不等式
• ベルヌーイ不等式
• イェンセン不等式の有限形
• イェンセン不等式の積分形
• イェンセン不等式の期待値形 🔵
• マルコフ不等式 🔵
• チェビシェフ不等式 🔵
• グロンウォール不等式
• 複数の不等式をまとめた不等式形 🔵
• 対数関数に関する不等式 $1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1$

積分公式

• $e^{-x^{2}}$型の定積分, ガウス積分, オイラー-ポアソン積分
  • ガウス積分の一般化
• $e^{x^{2}}$型の不定積分
• 三角関数の積分表
• $\dfrac{1}{x^p}$の積分可能性
• $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \pi$, $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \tan^{-1} x + C$
• よく使われる二次関数の定積分 $\int_{ \alpha }^{ \beta }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx }=-\frac { (\beta -\alpha ) ^ { 3 } }{ 6 }$
• 自然対数の累乗の積分法 $\int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx$

極限

• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$

離散数学

算術

• 等差数列の和の求め方
  • 等差数列の部分和も等差数列である
• 等比数列の和の求め方
  • 等比数列の部分和も等比数列である
• 平方数の和を求める $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = n(n+1)(2n+1)/6$
• フィボナッチ数列の一般項

組合せ論

• 🔒(25/08/01)順列
  • 🔒(25/08/09)組合せ論における分割の原理
• 組合せの定義と二項定理の証明
  • 🔒(25/08/13)パスカルの等式導出 $_{n}C_{k} + _{n}C_{k+1} = _{n+1}C_{k+1}$
  • 二項係数の和の公式 $2^{n} = \sum _{n}C_{k}$
  • 🔒(25/08/05)二項係数の減算法則 $_{n}C_{k}(n/k)^{-1} = _{n-1}C_{k-1}$
  • 🔒(25/08/17)二項係数の二乗和公式 $_{2n}C_{n} = \sum _{n}C_{k}^{2}$
• 🔒(25/08/21)鳩の巣原理
• 誕生日のパラドックス: 同じ誕生日である確率