ルベーグ空間

ルベーグ空間 $L^{p}$について扱います。測度やルベーグ積分自体については、測度論カテゴリーを参照してください。

ルベーグ空間

• $L^{p}$空間、ルベーグ空間
  • 関数の内積を定積分で定義する理由
  • $L^{1}$空間
  • $L^{p}$収束
• $L^{\infty}$空間
• 加重$L^{p}$空間
• $L_{\text{loc}}^{1}$空間

基本的な性質

• コーシー・シュワルツの不等式
• ヘルダーの不等式
  • 一般化されたヘルダーの不等式
  • 逆向きヘルダーの不等式
  • ヘルダーの不等式の逆：$L^{p}$関数である十分条件
• ミンコフスキーの不等式
  • 逆向きミンコフスキーの不等式
• 内挿不等式
• ヤングの定理
• $L^{p}$空間の埋め込み定理

一様凸性

• クラークソンの不等式の証明
• $L^{p}$空間が一様に凸で反射的であることの証明

ノルム双対

• $L^{p}$空間の線形汎関数
• $L^{p}$空間に対するリース表現定理

$L^{2}$空間

• $L^{2}$空間
  • $L^{1}$空間と$L^{2}$空間の関係
• 直交関数と直交集合
• 正規直交基底、完備性、正規直交集合
• ベッセルの不等式
• 平行移動、変調、拡大
  • 逆作用素
  • 交換関係
• 作用素としてのフーリエ変換

スツルム・リウヴィル形式

• スツルム・リウヴィル微分方程式
• S-L問題での固有値と固有関数
• 正則スツルム・リウヴィル問題の解の直交性

主要参考文献

• Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)
• Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003)
• Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010)