幾何学

平面図形

• 二次曲線、円錐曲線
  • 放物線
  • 楕円
    • 円
    • 楕円の周
  • 双曲線

空間図形

• 球の立体角

一般化

• ベクトル空間で定義される基底の向き
• 一般的な角度と垂直の定義
• 一般的な直線、平面、球の定義
• 一般的な螺旋の定義
• 一般的な平行六面体の定義
• モジュライ空間
  • 射影空間
• 凸包の定義
• シンプレックス $\Delta^{n}$

微分幾何学

• 曲線の定義
  • 再パラメータ化
• 閉曲線の定義
  • 閉曲線の回転数
• 単純曲線の定義

局所曲線理論

• 接線とタンジェントベクトル場
• 弧の定義
• フレネ-セレの道具: 曲率、接線、法線、共法線、ねじれ
  • 接平面と法平面
• フレネ-セレの公式
  • 3次元ユークリッド空間で曲線が平面内にある同値条件
  • ランクレの定理
  • 球面上の曲線に対する公式
• 再パラメータ化とフレネ-セレの道具
• 曲線の基本定理

全局曲線理論

• 平面曲線のタンジェント、ノーマル、曲率
• 平面曲線の回転数
• 回転数定理
• 平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式
• 等周不等式

局所曲面理論

曲面理論では、単純曲面 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$の定義域である$U$の座標の表記法として$(u_{1}, u_{2})$または$(u,v)$を使う。アインシュタインの記法を積極的に使用する場合は$(u_{1}, u_{2})$を使用する。そうでなく、不必要な下添え字で表記法が汚れるのを避けたい場合は$(u, v)$を使う。

• 単純曲面、座標断片写像
  • 3次元単位球の座標断片写像
  • 3次元空間のトーラスの座標断片写像
  • 3次元空間のメビウス帯の座標断片写像
• 座標変換
• 接平面と法ベクトル
• タンジェントベクトル
• 単純曲面上のパラメータ曲線
• 固有断片写像
• $C^{k}$ 曲面
• 回転面
  • 性質

第一基本形式と第二基本形式

• 第一基本形式
  • 具体的な例
  • 第一基本形式と座標変換の関係
• 法曲率と測地曲率 $\kappa_{n}$, $\kappa_{g}$
• 第二基本形式
  • 性質
• クリストッフェル記号 $\Gamma_{ij}^{k}$
• ガウスの公式
• ‘内在的/本質的’の定義
  • クリストッフェル記号は内在的である
  • [測地曲率

は内在的である](../../posts/3166)

測地線と平行

• 測地線
• 回転面上の測地線
• 一意性
• 最短距離曲線であれば測地線である
• 曲面上の曲線に沿って平行なベクトル場
• 曲線に沿って平行なベクトル場であるための必要十分条件
• ベクトル場の平行移動
• 性質

ヴァインガルテンマップ^{形状演算子}

• 方向微分 $\mathbf{X}f$
• 法断面の定義とムスニエの定理
• ヴァインガルテンマップ $L$
• ヴァインガルテン方程式
• 第二基本形式とヴァインガルテンマップの関係

曲率

• 主曲率 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$
• オイラーの定理
• ガウス曲率と平均曲率 $K = \kappa_{1}\kappa_{2}, H = \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2}$
• 曲面の面積
• ガウス写像の定義とガウス曲率との関係
• リーマン曲率テンソル $R_{ijk}^{l}$, ガウスの方程式, コダッチ-マイナルディの方程式
• ガウスの偉大な定理

曲面の基本定理

• 二つの曲面間で微分可能な関数
• 等距離写像
• 局所等距離写像
• 曲面の基本定理

定曲率の曲面たち

• ガウス曲率による回転面の分類
• $K \gt a^{2}:$ 曲率が正の回転面
  • 曲率が正の二つの回転面は局所等距離である
• $K = 0:$曲率が$0$の回転面
• $K \lt -a^{2}:$ 曲率が負の回転面

全局曲面理論

• 測地線座標断片写像
  • クリストッフェル記号
  • ガウス曲率

単純曲率

• コンパクト曲面
• コンパクト曲面が球^sphereである条件

方向性

• 向き付けられた曲面
• 曲面のリージョンとリージョンの境界
• 全角変動^{total angular variation}
• ヌルホモトピック
• 単連結リージョン

ガウス-ボネの定理

• ガウス-ボネの公式
• 全局ガウス-ボネの公式
• オイラー標数 $\chi = V - E + F$
• 正則領域、単純領域、三角形分割
• ジーナスの定義とオイラー標数との関係 $\chi = 2(1-g)$

ヤコビの定理

• ヤコビ定理

ベクトル場のインデックス

• ベクトル場の零点とインデックス $I(V) = \sum i_{p}(V)$
• プアンカレ-ブラウアーの定理 $I(M) = \chi(M)$

微分形式

• 余接空間 $T_{p}^{\ast}M$, $1$次微分形式 $\omega : M \to T_{p}^{\ast}M$
• $2$次微分形式 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$
• $k$次微分形式 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$
• 微分形式の演算: 和とウェッジ積 $\wedge$
• プルバック
• $k$次微分形式の外微分

微分多様体とリーマン幾何学

• 微分可能な多様体 $M$
• 多様体上で微分可能な関数 $f : M_{1} \to M_{2}$
• 微分多様体上で定義される微分可能な関数の集合 $\mathcal{D}(M)$
• 微分多様体上の接ベクトル、接空間 $T_{p}M$
  • $n$次元微分多様体上の接空間は$n$次元ベクター空間である
• 微分多様体上で定義された関数の微分 $d \phi_{p}$
• 微分同型写像
• イマージョンとエンベディング
  • イマージョンは局所的にはエンベディングになる

ベクトル場

• 接束 $TM = \bigcup\limits_{p \in M}T_{p}M$
• ベクトル場 $X : M \to TM$
• 微分多様体上の微分可能なベクトル場の集合 $\frak{X}(M)$
• リー括弧 $[X, Y] = XY - YX$
• ローカルフロー

リーマンメトリック、接続

• リーマンメトリックとリーマン多様体 $(M, g)$
• 等距離写像と局所等距離写像
• 曲線に沿うベクトル場
• アフィン接続 $\nabla_{X}Y$
• 共変微分 $\dfrac{d V}{d t}$
• 平行なベクトル場
• 両立可能な接続
• 接続の対称性
• レヴィ-チヴィタ接続

測地線

• 測地線
• フロー
• 均質性
• 指数写像
• 微分可能な曲線と最小化
• パラメータ付けられた曲面
• ガウス補題
• 最小化性質を持つ測地線
• 指数写像とノーマルネイバーフッド
• プアンカレメトリック

曲率

• リーマン曲率テンソル $R$
  • ビアンキ恒等式
  • 対称性
  • 座標系表示 $R_{ijkl}$
• 断面曲率 $K(\sigma)$
  • 断面曲率が同じならリーマン曲率が同じである
• リッチ曲率 $\Ric$
• スカラー曲率 $K$
• 共変微分とリーマン曲率の関係
• テンソルとは？ $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
• テンソルの共変微分 $\nabla T$, 共変微分 $\nabla_{Z}T$

主要参考文献

• Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
• Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)