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グリーンの定理、部分積分の公式 📂偏微分方程式

グリーンの定理、部分積分の公式

定理

URnU\subset \mathbb{R}^{n}開集合としよう。u:UˉRu : \bar{U} \to \mathbb{R}で、uC1(Uˉ)u \in C^1(\bar{U})とする。ν\nu外向き単位法線ベクトルとしよう。それでは、以下の式が成り立つ。

Uuxidx=UuνidS(i=1,,n) \begin{equation} \int_{U} u_{x_{i}}dx=\int _{\partial U} u\nu^{i} dS\quad (i=1,\dots, n) \label{eq1} \end{equation}

これを全てのiiに対して合計すると、以下の式を得る。各u1C1(Uˉ)u^{1} \in C^{1}(\bar{U})に対して、u=(u1,,un):UˉRn\mathbf{u} = (u^{1},\dots,u^{n}) : \bar{U} \to \mathbb{R}^{n}とするならば、

Uudx=UuνdS \int_{U} \nabla \cdot \mathbf{u} dx = \int_{\partial U} \mathbf{u} \cdot \nu dS

この結果は グリーン-ガウスの定理Green-Gauss theoremまたは発散定理divergence theoremと言われる。

系: 部分積分公式

u,vC1(Uˉ)u, v \in C^1(\bar{U})としよう。それでは、以下の式が成立する。

Uuxivdx=Uuvxidx+UuvνidS(i=1,,n) \int_{U} u_{x_{i}}vdx = -\int_{U} uv_{x_{i}}dx + \int_{\partial U} uv\nu^{i} dS\quad (i=1,\dots , n)

証明

(eq1)\eqref{eq1}に対してuuの代わりにuvuvを適用して得られる。

U(uv)xidx=Uuxivdx+Uuvxidx=UuvνidS \int_{U} (uv)_{x_{i}} dx = \int_{U} u_{x_{i}}v dx +\int_{U} uv_{x_{i}} dx =\int _{\partial U} u v\nu ^{i} dS

並び替えると、以下のようになる。

Uuxivdx=Uuvxidx+UuvνidS \int_{U} u_{x_{i}}v dx =-\int_{U} uv_{x_{i}} dx + \int _{\partial U} uv \nu ^{i} dS