グリーンの定理、部分積分の公式
📂偏微分方程式グリーンの定理、部分積分の公式
定理
U⊂Rnを開集合としよう。u:Uˉ→Rで、u∈C1(Uˉ)とする。νを外向き単位法線ベクトルとしよう。それでは、以下の式が成り立つ。
∫Uuxidx=∫∂UuνidS(i=1,…,n)
これを全てのiに対して合計すると、以下の式を得る。各u1∈C1(Uˉ)に対して、u=(u1,…,un):Uˉ→Rnとするならば、
∫U∇⋅udx=∫∂Uu⋅νdS
この結果は グリーン-ガウスの定理Green-Gauss theoremまたは発散定理divergence theoremと言われる。
系: 部分積分公式
u,v∈C1(Uˉ)としよう。それでは、以下の式が成立する。
∫Uuxivdx=−∫Uuvxidx+∫∂UuvνidS(i=1,…,n)
証明
(eq1)に対してuの代わりにuvを適用して得られる。
∫U(uv)xidx=∫Uuxivdx+∫Uuvxidx=∫∂UuvνidS
並び替えると、以下のようになる。
∫Uuxivdx=−∫Uuvxidx+∫∂UuvνidS
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