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外向き単位法線ベクトル 📂偏微分方程式

外向き単位法線ベクトル

定義1

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URnU\subset \mathbb{R}^{n}開集合とする。UU境界 U\partial UUC1\partial U \in C^1だとする。そうすると、以下のような外向きの単位法線ベクトルを定義できる。

ν=(ν1,ν2,,νn)andν=1 \boldsymbol{\nu}=(\nu^{1}, \nu^{2}, \dots, \nu^{n}) \quad \text{and} \quad |\boldsymbol{\nu}|=1

ν\boldsymbol{\nu}は境界のある点に接しており、大きさが1で外側を向いているベクトルである。これをuC1(Uˉ)u \in C^{1}(\bar{U})としよう。すると、方向微分 uν\dfrac{\partial u}{\partial \nu}を以下のように定義する。

uν:=νDu=(ν1,,νn)(ux1,,uxn) \dfrac{\partial u}{\partial \nu} := \boldsymbol{\nu} \cdot Du=(\nu^1,\cdots,\nu^n)\cdot(u_{x_{1}}, \cdots, u_{x_{n}})

D=D1D=D^{1}多重指数表記であり、DuDuuu勾配である。


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p710-711 ↩︎