フーリエ級数の定数項は、関数の一周期の平均と等しい。
定理
周期が$2L$の関数$f$のフーリエ級数の定数項は、関数$f$の一周期の平均と同じだ。
証明
定義によって
$f(t)$の一周期の積分は
$$ \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t)dt $$
これはフーリエ係数の定義に従い、$\dfrac{1}{2}a_{0}$と同じだ。したがって、$f(t)$の一周期の積分は、$f(t)$のフーリエ級数の定数項と同じだ。
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直接計算
直接計算によって、上記の事実を示すこともできる。$f(t)$のフーリエ級数は
$$ f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} +\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \frac{n\pi}{L}t + b_{n} \sin \frac{n\pi}{L}t \right) $$
$f(t)$の一周期の平均を求めると
$$ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t) dt= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{a_{0}}{2} dt+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \cos \frac{n\pi}{L}t dt + b_{n}\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sin \frac{n\pi}{L}tdt \right) $$
三角関数の一周期の平均は$0$なので、
$$ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t) dt= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{a_{0}}{2} dt=\dfrac{a_{0}}{2} $$
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