📂フーリエ解析

不連続点でのフーリエ級数の収束성

定理¹

区間$[-L,\ L)$で定義された関数$f(t)$が逐片連続であるとする。不連続点を$t_{i}\ (i=1,\ \cdots m )$とし、各不連続点で左微分係数$f(a-)$、右微分係数$f(a+)$を持つとする。すると、$f(t)$のフーリエ級数は不連続点$t_{i}$での左極限と右極限の中間値に収束する。

$$\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n} \cos \dfrac{n \pi t_{i} }{L} +b_{n}\sin\dfrac{n\pi t_{i}}{L} \right) = \dfrac{f(t_{i}+)+f(t_{i}-)}{2}$$

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$f$がリーマン積分可能であれば、$f$のフーリエ級数は連続点$t$で$f$に収束する。 不連続点では、上述の定理から左右微分係数の中間値に収束することがわかる。

証明

任意の不連続点を$t_{i}=t$とする。

フーリエ級数とディリクレ核の関係

$$S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx$$

この関係式を通じて、以下の式が得られる。

$$\begin{align} & \lim_{N \rightarrow \infty} S_{N} (t) \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right) dx \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left(\dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda +\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda +t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda \end{align}$$

2番目の等号は$x-t=\lambda$で置換すると成り立つ。3番目の等号は周期$(2L)$に対する積分であれば関係ないからである。

ディリクレ核の積分

$$\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = 1$$

ディリクレ核は偶関数なので、上記の式から次の式が得られる。

$$\dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{2}$$

したがって、以下の式が成り立つ。

$$\begin{equation} \begin{aligned} \dfrac{1}{2}f(t+) &= f(t+)\dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(t+)D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda \\ \dfrac{1}{2}f(t-) &= f(t-)\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(t-)D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \end{aligned} \end{equation}$$

$(1)$の二項の積分範囲に合わせて$(2)$の二つの式をそれぞれ引くと、次のようになる。

$$\begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t+) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}\Big( f(\lambda + t) -f(t+) \Big) D_{N}\left(\dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}\Big( f(\lambda + t) -f(t+)) \Big)\dfrac{\sin\left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} d\lambda \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}g_+(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}\right] d\lambda \end{align*}$$

この時、$g_+(\lambda) = \dfrac{ f(\lambda + t) -f(t+) }{\lambda}\dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}$である。2番目の等号は以下の式によって成り立つ。

フーリエ級数とディリクレ核の関係

$$S_{N}^{f} (t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{n}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx$$

同じ方法で計算すると、次のようになる。

$$\begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t-) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0}g_-(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}\right] d\lambda \end{align*}$$

この時、$g_-(\lambda) = \dfrac{ f(\lambda + t) -f(t-) }{\lambda}\dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}$である。これから$g_\pm(\lambda)$が逐片連続であることを示す。サイン関数の極限の性質により、

$$\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} =\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\pi \lambda}{2L}}{\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} \dfrac{L}{\pi}=\dfrac{L}{\pi}$$

よって、任意の$\lambda \in [-L,\ L)$で以下の式を満たす$M_{1}>0$が存在する。

$$\left| \dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}\right| \le M_{1} <\infty$$

$0$でない場所では発散しないことが確かで、$0$でも発散しないことを示したので、有界であるということである。つまり、区間内には有限個の不連続点があり、不連続点では左/右極限が共に存在する。したがって、区間内で逐片連続となる。連続であればリーマン積分可能で、リーマン積分可能であれば有界であり、$f$は$t$で右微分係数を持つので、任意の$\lambda \in (0,\ L)$で以下の式を満たす$M_2$が存在する。

$$\left| \dfrac{f(\lambda+t) -f(t+)}{\lambda} \right| \le M_2 <\infty$$

同様に、区間内で逐片連続である。この2つの事実から、$g_+(\lambda)$は$[0,\ L)$で逐片連続であり、またリーマン積分可能である。したがって、

$$\begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t+) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}g_+(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L} \right]d\lambda \\ =&\ 0 \end{align*}$$

$g_+(\lambda)$が区間内で逐片連続であるので、リーマン・ルベーグの補助定理により二番目の等号が成立する。

リーマン・ルベーグの補助定理

関数$f(t)$が区間$[-L,\ L)$で逐片連続であれば、以下の式が成立する：

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos \dfrac{n \pi}{L}t dt=0$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \sin \dfrac{n \pi}{L}t dt=0$$

したがって、

$$\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda=\dfrac{1}{2}f(t+)$$

同じ方法で、以下の式を得ることができる。

$$\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda=\dfrac{1}{2}f(t-)$$

二つの式を合わせると、

$$\lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}(t) = \dfrac{1}{2}\big(f(t+)+f(t-)\big)$$

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