📂解析学

各断片ごとの連続性、各断片ごとの滑らかさ

定義

• 関数 $f$が区間 $I$で以下の条件を満たすとき、$f$は区間 $I$で片方向に連続^{piecewise continuous}だと言われる。

  1. 有限個の不連続点 $x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_{n} \in I$を持つ。

  2. 不連続点で左極限と右極限を持つ。

  $$ \left|\lim \limits_{x\rightarrow x_{i}^{+}} f(x) \right| < \infty \quad \text{and} \quad \left|\lim_{x \rightarrow x_{i}^{-}}f(x)\right|<\infty \quad (i=1,\ \cdots ,\ n) $$

• 関数 $f$が有限個の不連続点を除いたすべての場所で無限回微分可能なら片方向に滑らか^{piecewise smooth}だと言う。

説明

条件 1.を満たしているだけでも片方向に連続と言う場合もある。簡単に言えば、不連続点を基準に関数を分割したとき、分割された各関数が全部連続なら片方向に連続である。

片方向に連続、区間ごとに連続、分割的に連続など、様々な訳がある。