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スカラー関数とベクトル値関数 📂多変数ベクトル解析

スカラー関数とベクトル値関数

定義

集合 DD を nn次元のユークリッド空間の部分集合 D⊂RnD\subset \mathbb{R}^{n} とする。

  1. DD を定義域とする関数を多変数関数function of several variablesと呼ぶ。
  2. f:D→Rf : D \to \mathbb{R} をスカラー関数scalar functionと呼ぶ。
  3. スカラー関数 f1,⋯ ,fm:D→Rf_{1} , \cdots , f_{m} : D \to \mathbb{R} に対して次のように定義された f:D→Rm\mathbf{f} : D \to \mathbb{R}^{m} をベクトル値関数vector-valued functionと呼ぶ。 f(x1,⋯ ,xn):=[f1(x1,⋯ ,xn)⋮fm(x1,⋯ ,xn)] \mathbf{f} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) : = \begin{bmatrix} f_{1} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \\ \vdots \\ f_{m} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \end{bmatrix}

説明

多変数関数

多変数関数を意味する英語には、function of several variables, multivariable function, multivariate function 等がある。

多変数関数という表現は特に微分積分学を含む解析学で使われる。もともとスカラー関数であれベクトル値関数であれ、ただの関数に過ぎないが、その値域を簡単に区別するために使われる言葉だ。線型代数学の観点から見れば、ベクトル値関数が m=1m=1 であればスカラー関数になると言えるので、概念的な差は全くないと言える。

スカラー関数

スカラー関数の例として、F(m,a):=ma F ( m , a ) := ma を考えることができる。mm が質量であろうとaa が加速度であろうと、数学者の目には (m,a)∈([0,∞)×R)⊂R2(m , a) \in \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R}^2 のような 22次元ベクトルに見えるべきだ。mama は単に2つの実数 mm と aa の積であり、ma∈Rma \in \mathbb{R} であるため、スカラー関数の条件をよく満たしている。一方、ベクトル解析学では、与えられた空間上の全ての点に対してスカラー値が1つずつ対応している点で、スカラー場scalar fieldとも呼ばれる。

ベクトル値関数

ベクトル値関数の例として、 q(m,v,a):=[mamv12mv2] \mathbf{q} ( m , v , a ) : = \begin{bmatrix} ma \\ mv \\ {{1} \over {2}} m v^2 \end{bmatrix} を考えることができる。物理学者の目には、最初の成分から順に力、運動量、運動エネルギーだと思うかもしれないが、ベクトル値関数として考えれば、単に q:D→R3\mathbf{q} : D \to \mathbb{R}^3 に過ぎない。一方、ベクトル解析学では、与えられた空間上の全ての点に対してベクトルが1つずつ対応している点で、ベクトル場vector fieldとも呼ばれる。