ベータ分布の平均と分散
📂確率分布論ベータ分布の平均と分散
式
X∼Beta(α,β) 面
E(X)=α+βαVar(X)=(α+β+1)(α+β)2αβ
導出
戦略: ベータ分布の定義とガンマ関数の基本的な性質を直接利用して導く。
ベータ分布の定義: α,β>0 以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布 Beta(α,β) をベータ分布という。
f(x)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1,x∈[0,1]
ガンマ関数の再帰公式:
Γ(p+1)=pΓ(p)
平均
E(X)===∫01xΓ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1dx∫01α+βαΓ(α+1)Γ(β)Γ(α+β+1)xα(1−x)β−1α+βα
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分散
E(X2)===∫01x2Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1dx∫01(α+β)(α+β+1)α(α+1)Γ(α+2)Γ(β)Γ(α+β+2)xα+1(1−x)β−1(α+β)(α+β+1)α(α+1)
従って、
Var(X)===(α+β)(α+β+1)α(α+1)−(α+β)(α+β)ααα+βα(α+β)(α+β+1)(α+1)(α+β)−α(α+β+1)(α+β+1)(α+β)2αβ
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