複素数表示のフーリエ級数
式
区間$[-L,\ L)$で定義された関数$f$の複素フーリエ級数complex Fourier seriesは次の通りである。
$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} $$
ここで複素フーリエ係数は次のようになる。
$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt $$
フーリエ係数は以下の式を満たす。
$$ \begin{align*} a_{0} & = 2 c_{0} \\ a_{n} &= c_{n}+c_{-n} \\ b_{n} &= i(c_{n}-c_{-n}) \\ c_{n} &= \frac{1}{2} (a_{n}-ib_{n}) \\ c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_{n}+ib_{n}) \end{align*} $$
三角関数の形よりも単純で、より頻繁に使用される形である。
証明
$$ \begin{equation} f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t }{L} \right) \end{equation} $$
$$ \begin{align*} \text{where}\quad a_{0} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \\ \end{align*} $$
オイラーの公式を利用して、コサイン関数とサイン関数を複素指数関数で表すと次のようになる。
$$ \begin{align*} \cos \dfrac{n\pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} \\ \sin \dfrac{n \pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2i} \end{align*} $$
これを$(1)$に代入すると次のようになる。
$$ f(t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} + b_{n}\dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} } {2i} \right) $$
指数関数を基準に項をまとめると
$$ f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)e^{i\frac{n\pi t}{L}} +\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right) e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right) $$
次に、$c_{0}=\dfrac{a_{0}}{2}$、$c_{n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)$、$c_{-n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)$とおくと、下記の通りになる。
$$ f(t) =c_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( c_{n}e^{i\frac{n\pi t}{L}} +c_{-n} e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right) $$
インデックスを一つにまとめて整理すると
$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n \pi t}{L} } $$
さらに、$c_{0}$、$c_{n}$、$c_{-n}$を計算すると
$$ \begin{align*} c_{0} &=\dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ c_{n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=1,\ 2,\ \cdots ) \\ c_{-n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=-1,\ -2,\ \cdots) \end{align*} $$
したがって
$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \cdots) $$
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