複素数表示のフーリエ級数
📂フーリエ解析複素数表示のフーリエ級数
式
区間[−L, L)で定義された関数fの複素フーリエ級数complex Fourier seriesは次の通りである。
f(t)=n=−∞∑∞cneiLnπt
ここで複素フーリエ係数は次のようになる。
cn=2L1∫−LLf(t)e−iLnπtdt
フーリエ係数は以下の式を満たす。
a0anbncnc−n=2c0=cn+c−n=i(cn−c−n)=21(an−ibn)=21(an+ibn)
三角関数の形よりも単純で、より頻繁に使用される形である。
証明
フーリエ級数
f(t)=2a0+n=1∑∞(ancosLnπt+bnsinLnπt)
wherea0=an=bn= L1∫−LLf(t)dt L1∫−LLf(t)cosLnπtdt L1∫−LLf(t)sinLnπtdt
オイラーの公式を利用して、コサイン関数とサイン関数を複素指数関数で表すと次のようになる。
cosLnπtsinLnπt=2eiLnπt+e−iLnπt=2ieiLnπt−e−iLnπt
これを(1)に代入すると次のようになる。
f(t)=2a0+n=1∑∞(an2eiLnπt+e−iLnπt+bn2ieiLnπt−e−iLnπt)
指数関数を基準に項をまとめると
f(t)=2a0+n=1∑∞(21(an−ibn)eiLnπt+21(an+ibn)e−iLnπt)
次に、c0=2a0、cn=21(an−ibn)、c−n=21(an+ibn)とおくと、下記の通りになる。
f(t)=c0+n=1∑∞(cneiLnπt+c−ne−iLnπt)
インデックスを一つにまとめて整理すると
f(t)=n=−∞∑∞cneiLnπt
さらに、c0、cn、c−nを計算すると
c0cnc−n=2a0=2L1∫−LLf(t)dt=21(an−ibn)=2L1∫−LLf(t)e−iLnπtdt(n=1, 2, ⋯)=21(an+ibn)=2L1∫−LLf(t)eiLnπtdt(n=−1, −2, ⋯)
したがって
cn=2L1∫−LLf(t)e−iLnπtdt(n=0, ±1, ±2, ⋯)
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