logo

複素数表示のフーリエ級数 📂フーリエ解析

複素数表示のフーリエ級数

区間[L, L)[-L,\ L)で定義された関数ff複素フーリエ級数complex Fourier seriesは次の通りである。

f(t)=n=cneinπtL f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}}

ここで複素フーリエ係数は次のようになる。

cn=12LLLf(t)einπtLdt c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt

フーリエ係数は以下の式を満たす。

a0=2c0an=cn+cnbn=i(cncn)cn=12(anibn)cn=12(an+ibn) \begin{align*} a_{0} & = 2 c_{0} \\ a_{n} &= c_{n}+c_{-n} \\ b_{n} &= i(c_{n}-c_{-n}) \\ c_{n} &= \frac{1}{2} (a_{n}-ib_{n}) \\ c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_{n}+ib_{n}) \end{align*}


三角関数の形よりも単純で、より頻繁に使用される形である。

証明

フーリエ級数

f(t)=a02+n=1(ancosnπtL+bnsinnπtL) \begin{equation} f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t }{L} \right) \end{equation}

wherea0= 1LLLf(t)dtan= 1LLLf(t)cosnπtLdtbn= 1LLLf(t)sinnπtLdt \begin{align*} \text{where}\quad a_{0} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \\ \end{align*}

オイラーの公式を利用して、コサイン関数とサイン関数を複素指数関数で表すと次のようになる。

cosnπtL=einπtL+einπtL2sinnπtL=einπtLeinπtL2i \begin{align*} \cos \dfrac{n\pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} \\ \sin \dfrac{n \pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2i} \end{align*}

これを(1)(1)に代入すると次のようになる。

f(t)=a02+n=1(aneinπtL+einπtL2+bneinπtLeinπtL2i) f(t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} + b_{n}\dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} } {2i} \right)

指数関数を基準に項をまとめると

f(t)=a02+n=1(12(anibn)einπtL+12(an+ibn)einπtL) f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)e^{i\frac{n\pi t}{L}} +\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right) e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right)

次に、c0=a02c_{0}=\dfrac{a_{0}}{2}cn=12(anibn)c_{n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)cn=12(an+ibn)c_{-n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)とおくと、下記の通りになる。

f(t)=c0+n=1(cneinπtL+cneinπtL) f(t) =c_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( c_{n}e^{i\frac{n\pi t}{L}} +c_{-n} e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right)

インデックスを一つにまとめて整理すると

f(t)=n=cneinπtL f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n \pi t}{L} }

さらに、c0c_{0}cnc_{n}cnc_{-n}を計算すると

c0=a02=12LLLf(t)dtcn=12(anibn)=12LLLf(t)einπtLdt(n=1, 2, )cn=12(an+ibn)=12LLLf(t)einπtLdt(n=1, 2, ) \begin{align*} c_{0} &=\dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ c_{n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=1,\ 2,\ \cdots ) \\ c_{-n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=-1,\ -2,\ \cdots) \end{align*}

したがって

cn=12LLLf(t)einπtLdt(n=0, ±1, ±2, ) c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \cdots)