📂数理物理学

デル演算子を含む式の部分積分

公式

デル演算子が含まれるベクトル積分について、次の式が成り立つ。

(a)

$$\int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau = \oint_{\mathcal{S}}f\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a}-\int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau$$

(b)

$$\int_{\mathcal{S}} f \left( \nabla \times \mathbf{A} \right)\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a} = \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{A} \times \left( \nabla f \right) \right] \cdot d\mathbf{a} + \oint_{\mathcal{P}} f\mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$$

(c)

$$\int_{\mathcal{V}} \mathbf{B} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) d\tau = \int_{\mathcal{V}} \mathbf{A} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \left( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right) \cdot d \mathbf{a}$$

説明

部分積分は、ある関数$(f\ or\ \mathbf{A}$とある関数の導関数$(\nabla f\ or\ \nabla \cdot \mathbf{A})$の積の積分を簡単にする方法だ。

部分積分 $\dfrac{d}{dx}\left( fg \right) = f\dfrac{dg}{dx}+g\dfrac{df}{dx}$ 両辺を定積分すると

$$\int_{a}^b \dfrac{d}{dx} \left(fg\right) = (fg)\Big|_{a}^b=\int_{a}^b f\left(\dfrac{dg}{dx}\right)dx+\int_{a}^bg\left(\dfrac{df}{dx}\right)dx \\ \implies \int_{a}^b f\left(\dfrac{dg}{dx}\right)dx = (fg)\Big|_{a}^b-\int_{a}^bg\left(\dfrac{df}{dx}\right)dx$$

証明

(a)

乗法則 3を使う

$$\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot (\nabla f) + f(\nabla \cdot \mathbf{A})$$

両辺を体積積分すると

$$\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (f\mathbf{A})d\tau = \int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau + \int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau$$

左辺に**発散定理**を適用すると

$$\oint_{\mathcal{S}}f\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a} = \int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau + \int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau$$

整理すると

$$\int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau = \oint_{\mathcal{S}}f\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a}-\int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau$$

あるいは

$$\int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau = \oint_{\mathcal{S}}f\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a}-\int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau$$

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(b)

(c)