📂数理物理学

ストークスの定理

定理¹

$\mathbf{v}, \mathcal{S}$をそれぞれ3次元空間におけるあるベクトル、面積だとしよう。$\mathcal{S}$の面積ベクトルを$d\mathbf{a}$、$\mathcal{S}$の境界を$\mathcal{P}$、$\mathcal{P}$に沿って動く経路を$d\mathbf{l}$とする。すると、次の式が成立する。

$$\int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$$

これはストークスの定理あるいは回転の基本定理と呼ばれる。

---

ちなみに、定理名に使われる場合を除いて、生さえび寿司屋においては、‘回転’と単独で使われる場合は‘カール’としている。

説明

定理の式を解いて説明すると、次のようになる。

• ある領域$\mathcal{S}$内でのベクトル$\mathbf{v}$が回転する量の総和（左辺）は、その領域の境界$\mathcal{P}$を沿ってベクトル$\mathbf{v}$の値を全て足したもの（右辺）と同じである。

物理を学ぶ人にとっては、ストークスの定理の証明よりも、どのような意味を持っているかを把握する方がはるかに重要である。

$d\mathbf{l}$は閉曲線なので、どの点から始めて、どの方向から始めても、結果には影響しない。したがって、面積ベクトル$d\mathbf{a}$の方向は右手の法則で決定される。

面積内での回転の総和と経路を辿る量の総和が同じであるというのは、図を見ずには理解しにくい。下の図を見よう。

積分値は唯一$\mathcal{S}$の境界$\mathcal{P}$によってのみ決定される

ストークスの定理は等式であるため、$\mathcal{S}$の形がどうであれ、境界が$\mathcal{P}$で同じ曲面であれば、積分値は常に同じだ。つまり曲面がどう見えるかは関係ない。下の図のように、いくつかの曲面があっても、そのエッジが同じであれば、$\int (\nabla \times \mathbf{v})\cdot d\mathbf{a}$は同じ値を持つ。したがって、積分値は$\mathcal{S}$の境界によって決定される。

閉じた曲面$\mathcal{S}$の積分値は常に$0$である

閉じた曲面の場合、境界の長さが$0$であるため、経路の長さが$0$で、右辺の閉曲線積分は常に$0$である。したがって、次の結果を得る。

$$\int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = 0 = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$$

閉じた曲面の境界の長さが$0$であることが理解しにくい場合は、下の図を見よ。