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リーマン積分可能な関数のフーリエ級数は収束する 📂フーリエ解析

リーマン積分可能な関数のフーリエ級数は収束する

定理[^1]

関数 ffが区間 [−L, L)[-L,\ L)でリーマン積分可能とする。それでは、連続点 ttにおいて、ffのフーリエ級数 lim⁡N→∞SNf(t)\lim \limits_{N \to \infty }S^{f}_{N}(t)は f(t)f(t)に収束する。

lim⁡N→∞SNf(t)=f(t) \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)=f(t)

この時

SNf(t)=a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} S^{f}_{N}(t)&=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n}&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*}

証明

ストラテジー： ∣lim⁡N→∞SNf(t)−f(t)∣=0\left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0を示すことにより証明を終える。

フーリエ級数とディリクレカーネルの関係

SNf(t)=1L∫−LLf(x)DN(π(x−t)L)dx S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx

上記の事実から、次の式を得る。

lim⁡N→∞SNf(t)−f(t)=lim⁡N→∞1L∫−LLf(x)DN(π(x−t)L)dx−f(t) \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \end{equation}

ディリクレカーネルの積分

1L∫−LLDN(π(x−t)L)dx=1 \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx=1

上記の式の両辺に f(t)f(t)を掛けると、次の式が得られる。

1L∫−LLf(t)DN(π(x−t)L)dx=f(t) \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = f(t)

これを (1)(1)に代入して整理すると、次のようになる。

lim⁡N→∞SNf(t)−f(t)=lim⁡N→∞1L∫−LLf(x)DN(π(x−t)L)dx−f(t)=lim⁡N→∞1L∫−LLf(x)DN(π(x−t)L)dx−1L∫−LLf(t)DN(π(x−t)L)dx=lim⁡N→∞1L∫−LL[f(x)−f(t)]DN(π(x−t)L)dx \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \Big[ f(x)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \end{align*}

ここで、x−t=λx-t=\lambdaで置き換えると、次のようになる。

lim⁡N→∞1L∫−L−tL−t[f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \Big[ f(\lambda+t)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right)d\lambda \end{equation}

f(x)f(x)が ttで連続であるため、定義により、s,t∈[−L, L)s,t\in [-L,\ L)、ε>0\varepsilon >0に対して次を満たす δ>0\delta>0が存在する。

∃δ>0s.t. ∣s−t∣<δ  ⟹  ∣f(s)−f(t)∣<ε \begin{equation} \exists \delta>0\quad \text{s.t. } \left| s-t \right|<\delta \implies \left| f(s)-f(t) \right| <\varepsilon \end{equation}

ディリクレ核はディラックデルタ関数に収束する lim⁡n→∞Dn(t)=δ(t) \lim \limits_{n \to \infty} D_{n}(t)=\delta (t)

そして、上記の事実により、固定された正の数 δ>0\delta>0に対し、∣x∣>δ|x|>\deltaかつN>nN \gt nの時、∣DN(πxL)∣<ε\left| D_{N}\left( \dfrac{\pi x}{L} \right) \right| \lt \varepsilonとなる自然数 nnが存在する。

∃n∈Ns.t. ∣x∣>δ, N>n  ⟹  ∣DN(πxL)∣<ε \begin{equation} \exists n\in \mathbb{N}\quad \text{s.t. } \left| x \right| > \delta,\ N>n \implies \left| D_{N} \left( \frac{\pi x}{L} \right) \right| < \varepsilon \end{equation}

また、f(x)f(x)がリーマン積分可能だと仮定されているので、有界である。従って、∣f(t)∣<M|f(t)| < Mを満たす実数 MMが存在する。

∃Ms.t. ∣f(t)∣<M \begin{equation} \exists M\quad \text{s.t. } \left| f(t) \right| <M \end{equation}

今、(2)(2)の積分範囲を分割すると、以下の不等式が得られる。

∣lim⁡N→∞SNf(t)−f(t)∣=lim⁡N→∞∣1L∫−L−tL−t[f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ∣≤lim⁡N→∞1L[∣∫−δδ[f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ∣+∣∫λ∉[−δ,δ][f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ∣] \begin{align*} &| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t)| \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left| \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right)d\lambda \right| \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| \right] \end{align*}

ここで、最初の項に (3)(3)の条件を使い、2番目の項に (4)(4)、(5)(5)の条件を使うと、次のようになる。

lim⁡N→∞1L[∣∫−δδ[f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ∣+∣∫λ∉[−δ,δ][f(λ+t)−f(t)]DN(πλL)dλ∣]≤lim⁡N→∞1L[∣∫−δδϵDN(πλL)dλ∣+2Mϵ]=lim⁡N→∞ϵL(∣∫−δδDN(πλL)dλ∣+2M)=ε′ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] } D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} {\color{blue} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right]} {\color{orange}D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) } d\lambda \right| \right] \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \epsilon} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| + {\color{blue}2M} {\color{orange}\epsilon} \right] \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{\epsilon}{L} \left( \left|\int_{-\delta}^{\delta} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +2M \right) \\ &= \varepsilon^{\prime} \end{align*}

上記の式は、全ての ε>0\varepsilon >0に対して成立しなければならないので、全ての ε′>0\varepsilon^{\prime}>0に対しても成立する必要がある。従って、次の式を得る。

∣lim⁡N→∞SNf(t)−f(t)∣=0 \left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0

したがって、ffのフーリエ級数は、連続点 ttで ffに収束する。

lim⁡N→∞SNf(t)=12a0+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)=f(t) \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) = \dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) = f(t)

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