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ルジャンドル多項式は、低次の任意の多項式と直交する

定理

$P_{l}(x)$がルジャンドル多項式で、$f(x)$を$l$より低い次数の任意の多項式とするとき、$P_{l}(x)$と$f(x)$は**直交**している。

$$\int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx = 0$$

説明

以下の補題は事実上、定理の証明に等しい。

補題

$f(x)$を任意の$n$次の多項式とする。$f(x)$は$l \le n$までのルジャンドル多項式^{Legendre polynomial}の線形結合で表すことができる。

証明

$P_{l}(x)$は$l$次の多項式である。従って、$P_{n}(x)$の最高次の項と任意の定数の積で$f(x)$の$n$次の項を表すことができる。また、$P_{n}(x)$の$x^{n-1}$項と任意の定数の積を$P_{n-1}(x)$の最高次の項と任意の定数の積に加えて、$f(x)$の$n-1$次の項を表すことができる。この方法を続け、次数を下げていくと、定数項まで表すことができる。従って、$f(x)$をルジャンドル多項式の線形結合で表すことができることがわかる。

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証明

$f(x)$を任意の$n(\lt l)$次の多項式とする。$P_{l}$と$f$の内積は次のようである。

$$\int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x) dx$$

補題により、$f(x)$をルジャンドル多項式の線形結合で表すと、次のようになる。

$$\begin{align*} & \int_{-1}^{1} P_{l}(x)\big[ a_{n}P_{n}(x)+a_{n-1}P_{n-1}(x) + \cdots +a_{0}P_{0}(x) \big] dx \\ &= a_{n}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{n}(x)dx +a_{n-1}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{n-1}(x) dx +\cdots+a_{0}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{0}(x)dx \\ &= 0 \end{align*}$$

$l \ne n$であり、ルジャンドル多項式の直交性により、全ての項が$0$である。

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