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ルジャンドル多項式の直交性

概要

区間$[-1,\ 1]$で、ルジャンドル多項式は直交集合を成す。

$$\int_{-1}^{1} P_{l}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} \quad (l, m = 0, 1, 2, \dots)$$

証明

Case 1: $l \ne m$

ルジャンドル微分方程式

次の微分方程式をルジャンドル微分方程式という。

$$\dfrac{d}{d x}\left[ (1-x)^{2} \dfrac{d y}{d x} \right] +l(l+1)y = 0$$

ルジャンドル多項式はルジャンドル微分方程式の解だから、上の式を満たす。式に$P_{l}$と$P_{m}$を代入すると、

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P^{\prime}_{l}(x) \right] + l(l+1)P_{l}(x) &= 0 \\ \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P^{\prime}_{m}(x) \right] + m(m+1)P_{m}(x) &= 0 \end{align*}$$

二つの式にそれぞれ$P_{m}(x)$、$P_{l}(x)$をかけて、引くと次のものが得られる。

$$\begin{equation} P_{m}\dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2)P^{\prime}_{l} \right] - P_{l}\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}] + [l(l+1)-m(m+1)]P_{l}P_{m} = 0 \end{equation}$$

一方、次の式が成り立つ。

$$\begin{align*} & \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})] \\ &= \dfrac{d}{dx}[{\color{blue}(1-x^2)P^{\prime}_{l}}P_{m}] -\dfrac{d}{dx}[{\color{blue}(1-x^2)P^{\prime}_{m}}P_{l}] \end{align*}$$

ここで青色に塗られた部分を一つの関数と考えて、積の微分法で式を展開すると次が得られる。

$$\begin{align*} & \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{l}]P_{m}+(1-x^2)P^{\prime}_{l}P^{\prime}_{m}-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}]P_{l}-(1-x^2)P^{\prime}_{m}P^{\prime}_{l} \\ &= \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{l}]P_{m}-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}]P_{l} \end{align*}$$

これは$(1)$の最初の2項と同じだ。従って$(1)$を下のように整理することができる。

$$\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})]+ [l(l+1)-m(m+1)]P_{l}P_{m}=0$$

両辺を区間$[-1, 1]$に対して積分すると、

$$(1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})\Big|_{-1}^{1} +[l(l+1)-m(m+1)]\int_{-1}^{1}P_{l}(x)P_{m}(x)dx=0$$

最初の項は$(1-x^2)\Big|_{x = \pm 1}=0$だから$0$になる。$l, m$の条件によって、2項目の積分前の定数は絶対$0$になり得ない。よって、次が得られる。

$$\int_{-1}^{1}P_{l}(x)P_{m}(x)dx=0$$

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Case 2: $l = m$

ルジャンドル多項式の再帰関係

$$lP_{l}(x) = xP^{\prime}_{l}(x) - P^{\prime}_{l-1}(x)$$

上の式の両辺に$P_{l}(x)$をかけて積分すると、

$$\begin{equation} l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx= \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)dx -\int_{-1}^{1} P_{l}(x)P^{\prime}_{l-1}(x)dx. \end{equation}$$

ここで$P^{\prime}_{l-1}(x)$は$l-2$次の多項式であり、ルジャンドル多項式は自分より次数が低い多項式と直交するので、右辺の最後の項は$0$だ。右辺の最初の項は部分積分で解くことができる。

$$\begin{align} \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)dx &= \int_{-1}^{1}\frac{ x}{2}[2P_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)]dx \nonumber \\ &= \frac{ x}{2}[P_{l}(x)]^{2}\bigg|_{-1}^{1}-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \nonumber \\ &= 1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx. \end{align}$$

3番目の等式は$P_{l}(1)=1$によって成り立つ。従って、$(3)$を$(2)$に代入すると、

$$\begin{align*} && l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx &= 1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \\ \implies && \int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx &= \frac{2}{2l+1} \end{align*}$$

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