📂数理物理学

デル演算子を含む乗法則

公式

$f=f(x,y,z)$をスカラー関数とする。$\mathbf{A} = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}}, \mathbf{B} = B_{x}\hat{\mathbf{x}} + B_{y}\hat{\mathbf{y}} + B_{z}\hat{\mathbf{z}}$をベクター関数とする。すると、次の式が成り立つ。

• グラディエント^勾配

  (a) $\nabla{(fg)}=f\nabla{g}+g\nabla{f}$

  (b) $\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}$

• ダイバージェンス^発散

  (c) $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$

  (d) $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$

• カール^回転

  (e) $\nabla \times (f\mathbf{A}) = (\nabla f) \times \mathbf{A} + f(\nabla \times \mathbf{A})$

  (f) $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A})$

説明

証明全体でアインシュタインの表記法を使用しているので、混乱しないよう注意。つまり、一つの式に同じインデックスが二回出る場合は次のような意味である。

$$x_{i}y_{i}=\sum \limits_{i=1}^{3} x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$$

また、クロネッカーのデルタとレビ・チビタ記号を使用することに慣れ、その二つの関係を知っている必要がある。

証明

(a)

グラディエントの定義と微分の性質で簡単に示すことができる。

$$\begin{align*} \nabla(fg) =&\ \dfrac{\partial (fg)}{\partial x} \hat{\mathbf{x}}+\dfrac{\partial (fg)}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} +\dfrac{\partial (fg)}{\partial z} \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ \left( g\dfrac{\partial f}{\partial x} + f\dfrac{\partial g}{\partial x} \right) \hat{\mathbf{x}} +\left( g\dfrac{\partial f}{\partial y} + f\dfrac{\partial g}{\partial y} \right) \hat{\mathbf{y}} + \left( g\dfrac{\partial f}{\partial z} + f\dfrac{\partial g}{\partial z} \right) \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ g\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\hat{\mathbf{z}} \right) + f\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{\partial g}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial g}{\partial z}\hat{\mathbf{z}} \right) \\ =&\ g\nabla f+ f\nabla g \end{align*}$$

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(b)

左辺を直接計算してみると以下のようになる。

$$\begin{align*} \nabla \left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right) =&\ \frac{ \partial \left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right)}{ \partial x_{1}}\mathbf{e}_{1}+\frac{ \partial \left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right)}{ \partial x_{2}}\mathbf{e}_{2}+\frac{ \partial \left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right)}{ \partial x_{3}}\mathbf{e}_{3} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{3} \frac{ \partial \left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right)}{ \partial x_{i}}\mathbf{e}_{i} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{3} \frac{ \partial \left( \sum _{j=1}^{3}A_{j}B_{j} \right)}{ \partial x_{i}}\mathbf{e}_{i} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{3} \frac{ \partial \left( A_{j}B_{j} \right)}{ \partial x_{i}}\mathbf{e}_{i} \end{align*}$$

これをアインシュタイン表記法で簡潔に表すと以下のようになる。

$$\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \frac{\partial(A_{j}B_{j})}{\partial x_{i}}\mathbf{e}_{i}=\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}} B_{j}\mathbf{e}_{i}+A_{j} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i}} \mathbf{e}_{i}$$

さらにクロネッカーのデルタを使って上記式を$X_{i}Y_{i}=X_{i}Y_{j}\delta_{ij}$のように表せば以下のようになる。

$$\begin{align*} &&\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}} B_{j}\mathbf{e}_{i}+A_{j} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i}} \mathbf{e}_{i} =&\ {\color{blue}\delta_{jm}}\frac{ \partial {\color{blue}A_{j}}}{ \partial x_{i}} {\color{blue}B_{m}} \mathbf{e}_{i} + {\color{blue}\delta_{jm} A_{m}}\frac{ \partial {\color{blue}B_{j}} }{ \partial x_{i} }\mathbf{e}_{i} \\ && =&{\color{red}\delta_{il}}{\color{blue}\delta_{jm}}\frac{ {\color{red}\partial} {\color{blue}A_{j}}}{ {\color{red}\partial x_{i}} } {\color{blue}B_{m}} {\color{red}\mathbf{e}_{l}} + {\color{red}\delta_{il}}{\color{blue}\delta_{jm} A_{m}} {\color{red}\frac{ \partial {\color{blue}B_{j}} }{ \partial x_{i} }} {\color{red}\mathbf{e}_{l}} \\ && =&{\color{red}\delta_{jl}}{\color{blue}\delta_{jm}} \left( {\color{red}\frac{ \partial {\color{blue}A_{j}}}{ \partial x_{i} }} {\color{blue}B_{m}}\color{red} {\mathbf{e}_{l}} + {\color{blue}A_{m}}{\color{red}\frac{ \partial {\color{blue}B_{j}} }{ \partial x_{i} } \mathbf{e}_{l} }\right) \\ \implies && \nabla \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) =&\ \delta_{jl}\delta_{jm} \left( \frac{ \partial A_{j} }{ \partial x_{i} } B_{m} \mathbf{e}_{l} + A_{m}\frac{ \partial B_{j} }{ \partial x_{i} } \mathbf{e}_{l} \right) \end{align*}$$

また、$\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}$であるため、上記式を以下のように展開できる。

$$\begin{align*} \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) =&\ (\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} + \delta_{im} \delta_{jl}) \left(\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}B_{m} \mathbf{e}_{l} + A_{m} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i}}\mathbf{e}_{l}\right) \\ =&\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm } \frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}B_{m} \mathbf{e}_{l} + \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} A_{m} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i}} \mathbf{e}_{l} + \delta_{im} \delta_{jl} \frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}} B_{m} \mathbf{e}_{l} + \delta_{im} \delta_{jl}A_{m} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i}} \mathbf{e}_{l} \end{align*}$$

ここでレビ・チビタ記号の定義により$\epsilon_{ijk} \dfrac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}=(\nabla \times \mathbf{A})_{k}$、$\epsilon_{ijk} \dfrac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}=(\nabla \times \mathbf{B})_{k}$であるため、次の結果を得る。

$$\begin{align*} \nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) =&\ \epsilon _{ klm }(\nabla \times \mathbf{A})_{ k }B_{ m }\hat { \mathbf{e}_{ l } }+\epsilon _{ klm }A_{ m }(\nabla \times \mathbf{B})_{ k }\hat { \mathbf{e}_{ l } }+\frac { \partial A_{ j } }{ \partial x_{ i } }B_{ i }\hat { e_{ j} }+A_{ i }\frac { \partial B_{ j } }{ \partial x_{ i } }\hat { \mathbf{e}_{ j } } \\ =&\ \mathbf{B}\times (\nabla \times \mathbf{A})+\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})+(\mathbf{B} \cdot \nabla )\mathbf{A}+(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{B} \end{align*}$$

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(c)​

$$\begin{align*} \nabla \cdot (f \mathbf{A}) =&\ \delta _{ ij }\nabla _{ i }(fA_{ j }) \\ =&\ \delta _{ ij }(\nabla _{ i }f)A_{ j }+\delta _{ ij }f(\nabla _{ i }A_{ j }) \\ =&\ (\nabla _{ i }f)A_{ i }+f(\nabla _{ i }A_{ i }) \\ =&\ (\nabla f)\cdot \mathbf{A}+f(\nabla \cdot \mathbf{A}) \end{align*}$$

■

(d)

$$\begin{align*} \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &= \delta _{ ij }\nabla _{ i }(\mathbf{A} \times \mathbf{B})_{ j } \\ &= \delta _{ ij }\nabla _{ i }(\epsilon _{ jkl }A_{ k }B_{ l }) \\ &= \delta _{ ij }\epsilon _{ jkl }\nabla _{ i }(A_{ k }B_{ l }) \\ &= \delta _{ ij }\epsilon _{ jkl }(\nabla _{ i }A_{ k })B_{ l }+\delta _{ ij }\epsilon _{ jkl }A_{ k }(\nabla _{ i }B_{ l }) \\ &= (\epsilon _{ jkl }\nabla _{ j }A_{ k })B_{ l }+A_{ k }(\epsilon _{ jkl }\nabla _{ j }B_{ l }) \\ &= (\nabla \times A)_{ l }B_{ l }-A_{ k }(\nabla \times B)_{ k } \\ &= (\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{B}-\mathbf{A}\cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \end{align*}$$

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(e)​

$$\begin{align*} \nabla \times (f\mathbf{A}) &= \epsilon _{ ijk }\nabla _{ i }(fA_{ j })\mathbf{e}_{k} \\ &= \epsilon _{ ijk }(\nabla _{ i }f)A_{ j }\mathbf{e}_{k}+\epsilon _{ ijk }f(\nabla _{ i }A_{ j })\mathbf{e}_{k} \\ &= (\nabla f)\times \mathbf{A}+f\epsilon _{ ijk }(\nabla _{ i }A_{ j })\mathbf{e}_{k} \\ &= (\nabla f)\times \mathbf{A}+f(\nabla \times \mathbf{A}) \\ &= f(\nabla \times \mathbf{A})-\mathbf{A} \times (\nabla f) \end{align*}$$

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(f)

アインシュタイン表記法に慣れていなければ、証明についていくのが難しいかもしれない。

$$\begin{align*} & \nabla \times (\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \\ =&\ \epsilon_{ijk} \nabla_{i} \left(\mathbf{A}\times \mathbf{B}\right)_{j} \mathbf{e}_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \nabla_{i} (\epsilon_{jlm} A_{l} B_{m})\mathbf{e}_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{jlm} \nabla_{i} (A_{l} B_{m}) \mathbf{e}_{k} \\ =&\ \epsilon_{jki} \epsilon_{jlm} \left[ B_{m}(\nabla_{i} A_{l}) \mathbf{e}_{k} + A_{l} (\nabla_{i} B_{m}) \mathbf{e}_{k} \right] \\ =&\ (\delta_{kl} \delta_{im} - \delta_{km} \delta_{il} ) [ B_{m} (\nabla_{i} A_{l} ) \mathbf{e}_{k} + A_{l} ( \nabla_{i} B_{m} ) \mathbf{e}_{k} ] \\ =&\ \delta_{kl} \delta_{im} B_{m} ( \nabla_{i} A_{l}) \mathbf{e}_{k} - \delta_{km} \delta_{il} B_{m} (\nabla_{ i} A_{l} ) \mathbf{e}_{k} + \delta_{kl} \delta_{im} A_{l} ( \nabla_{i} B_{m} ) \mathbf{e}_{k} - \delta_{km} \delta_{il} A_{l} ( \nabla_{i} B_{m} ) \mathbf{e}_{k} \\ =&\ B_{i} ( \nabla_{i} A_{k}) \mathbf{e}_{k} - B_{k} (\nabla_{i} A_{i} ) \mathbf{e}_{k} + A_{k} ( \nabla_{i} B_{i} ) \mathbf{e}_{k} - A_{i} ( \nabla_{i} B_{k} ) \mathbf{e}_{k} \\ =&\ (\mathbf{B}\cdot \nabla )\mathbf{A}-(\nabla \cdot \mathbf{A})\mathbf{B}+\mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B} \\ =&\ (\mathbf{B}\cdot \nabla )\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B}+\mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) \end{align*}$$

四行目は$\epsilon_{jki} \epsilon_{jlm} = \delta_{kl} \delta_{im} - \delta_{km} \delta_{il}$により成立する。七行目はアインシュタイン表記法により成立する。

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